第5讲 空间公理与直线、平面平行的判定及其性质-2020-2021学年高一数学下学期高频考点专题突破（人教A版2019必修第二册）

空间公理与平行 空间基本公理与平行 块一：空间基本公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 ． 公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线． 平面基本性质 考点1：空间基本公理 例1. 在空间中，下列结论正确的是 A．三角形确定一个平面 B．四边形确定一个平面 C．一个点和一条直线确定一个平面 D．两条直线确定一个平面 例2.（1）已知：，，，，．求证：． （2）三平行平面与一直线交于，，三点，又与另一直线交于，，三点，已知，及求． 模块二：立体几何之平行 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等． 判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行． 判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行． 性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 空间中的平行关系 线线平行 线面平行 面面平行 考点2：线面、面面平行 例3.（1）若平面平面，直线，点，则在平面内且过点的所有直线中（ ） A．不一定存在与平行的直线 B．只有两条与平行的直线 C．存在无数条与平行的直线 D．存在唯一与平行的直线 （2）能保证直线与平面平行的条件是 A．， B．，，， C．，，，，，且 D．，， （3）下列四个正方体图形中，、为正方体的两个顶点，、、分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是 ． （4）如图，四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，则 A． B． C． D．以上均有可能 （5）如图，在三棱锥中，，，，，，分别为线段，，，，，的中点，则下列说法正确的是 A． B． C． D． （6）如图所示，在正方体中，、、、分别是棱、、、的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则满足 ___时，有平面． 考点3：空间平行的探索性问题 例4.如图所示，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱底面，在侧面内，有于，且，、分别为、上的点，且． （1）求的长； （2）求证：平面； （3）试在上找一点，使平面； （4）求线段的长的最小值． 例5.如图所示，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱底面，侧面内有于，且，试在上找一点，使平面． 课后作业： 1. 在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点，点在线段上，，平面，则实数的值为 A． B． C． D． 2. 空间四边形中，、、、分别是、、、上的点，已知和交于点，求证：、、三线共点． 3. 已知正方体中，，分别为，的中点，点，分别在线段，上，且，则在，，这三点中任取两点确定的直线中，与平面平行的条数为 A．0 B．1 C．2 D．3 4. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，点、分别为棱、的中点．求证：平面； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 空间公理与平行 目录 空间基本公理与平行 2 模块一：空间基本公理 2 考点1：空间基本公理 2 模块二：立体几何之平行 5 考点2：线面、面面平行 5 考点3：空间平行的探索性问题 8 课后作业： 11 空间基本公理与平行 模块一：空间基本公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 ． 公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线． 平面基本性质 考点1：空间基本公理 例1. 在空间中，下列结论正确的是 A．三角形确定一个平面 B．四边形确定一个平面 C．一个点和一条直线确定一个平面 D．两条直线确定一个平面 【解答】解：对于选项：三角形的三角不共线，所以不共线的三点确定的平面有且只有一个，故正确． 对于选项：四边形的对边不平行，确定的平面可能有四个，故错误． 对于选项：只有当点不在直线上时，才能确定