第4讲 复数代数形式的四则运算-2020-2021学年高一数学下学期高频考点专题突破（人教A版2019必修第二册）

复数代数形式的四则运算 考点一 复数的运算 1．复数的加法与减法 ⑴加法：设，，，定义． 复数的加法运算满足交换律、结合律． ⑵相反数：已知复数，存在惟一的复数，使，叫做的相反数．．在复平面内，互为相反数的两个复数关于原点对称． ⑶复数的减法法则：， ⑷复数加法的几何意义：复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则． 2．复数的乘法 设，，、、、，定义． 复数的乘法运算满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律， 一个复数与其共轭复数的乘积等于这个复数（或其共轭复数）模的平方． 复数的乘方也就是相同复数的乘积．实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对复数、、和自然数、，有，，． 在复数的乘方运算中，要记住以下结果： ，，，；，，，． <教师备案>记， 则，，，，， 3．复数的除法 已知，如果存在一个复数，使，则叫做的倒数，记作． ． 两个复数除法的运算法则如下： ． 1．设，复数在复平面内对应的点位于实轴上，又函数，若曲线与直线有且只有一个公共点，则实数的取值范围为　　 A． B．， C．， D．，， 2．复数、满足，，则　　 A．1 B． C． D． 3．设，如果，则满足条件的集合有　　 A．8个 B．7个 C．3个 D．无穷多个 考点二 复数的模 1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b=0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a=0，b≠0，则a+bi为纯虚数． 2、复数相等：a+bi=c+di⇔a=c，b=d（a，b，c，d∈R）． 3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a=c，b+d=0（a，b，c，d∈R）． 4、复数的模： 的长度叫做复数z=a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|= 1．如果复数满足，那么的最大值是　　 A． B． C． D． 2．已知，，，是虚数单位．若复数是实数，则的最小值为　　 A．0 B． C．5 D． 课后综合巩固练习 1．若复数满足，则的最小值为　　 2．若复数满足，则的最小值　　． 3．复数的虚部为　　． 4．已知，则的值是　　． 5．已知复数满足是虚数单位），则的最大值为　　． 6．已知复数满足，则的范围是　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 复数代数形式的四则运算 目录 考点一 复数的运算 2 考点二 复数的模 5 课后综合巩固练习 7 考点一 复数的运算 1．复数的加法与减法 ⑴加法：设，，，定义． 复数的加法运算满足交换律、结合律． ⑵相反数：已知复数，存在惟一的复数，使，叫做的相反数．．在复平面内，互为相反数的两个复数关于原点对称． ⑶复数的减法法则：， ⑷复数加法的几何意义：复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则． 2．复数的乘法 设，，、、、，定义． 复数的乘法运算满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律， 一个复数与其共轭复数的乘积等于这个复数（或其共轭复数）模的平方． 复数的乘方也就是相同复数的乘积．实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对复数、、和自然数、，有，，． 在复数的乘方运算中，要记住以下结果： ，，，；，，，． <教师备案>记， 则，，，，， 3．复数的除法 已知，如果存在一个复数，使，则叫做的倒数，记作． ． 两个复数除法的运算法则如下： ． 1．设，复数在复平面内对应的点位于实轴上，又函数，若曲线与直线有且只有一个公共点，则实数的取值范围为　　 A． B．， C．， D．，， 【分析】由已知求得，得到，利用导数研究单调性及过的切线的斜率，再画出图形，数形结合可得实数的取值范围． 【解答】解：在复平面内对应的点位于实轴上， ，即． 则，， 又当时，， 作出函数的图象如图： 直线过， 设切点为，， 则在切点处的切线方程为， 把代入，可得，即，即． 则，． 而， 由图可知，当，，即，时，曲线与直线有且只有一个公共点， 综上可得，当，时，曲线与直线有且只有一个公共点． 故选：． 【点评】本题考查复数的基本概念，考查函数零点的判定，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题． 2．复数、满足，，则　　 A．1 B． C． D． 【分析】，由，设，，可得，，即可得出． 【解答】解：， 由，设，， ，， ，，， ，， 则． 故选：． 【点评】本题考查了复数的运算法则、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3．设，如果，则满足条件的集合有　　 A．8个 B．7个 C．3个 D．无穷多个 【分析】首先由复数代数形式的乘除运算化简，然后根据虚数单位的幂运算性质分类讨论，求出中的元素，则答案可求 【解答】解：（1），， 根据虚数单位的幂运算性质有：，， 有三个不同的值，即，0，2，是，它的一个子集． ，，