第2讲 向量的数量积与坐标运算-2020-2021学年高一数学下学期高频考点专题突破（人教A版2019必修第二册）

平面向量的数量积与坐标运算 模块一：平面向量的坐标运算 已知， 则：；；； ；； ；． 考点1：向量的坐标运算 例2.（1）已知向量，，若共线，则实数　　 A． B． C． D．6 （2）已知向量，，，则　　 A．1 B．2 C． D． （3）已知平面向量，，若向量与向量共线，则　　 A． B． C． D． （4）向量与不共线，若与平行，则等于　　 A． B．2 C． D． （5）如图，在直角梯形 中，，，， 为 的中点，若，则的值为　　 A． B． C．2 D． （6）已知是锐角，，，且，则为　　 A． B． C． D．或 （7）已知向量，则下列结论正确的是　　 A． B． C．与垂直 D． 例3.若，，则在上的投影为　　． （2）已知向量，，，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 例4.在边长为1的等边三角形中，是的中点，为线段上一动点，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 模块二：平面向量的数量积 1．两个非零向量的夹角： 已知两个非零向量，作，则称作向量和向量的夹角，记作，并规定．当时，称． 2．向量数量积（内积）：的数量积记作，定义为． 3．向量的数量积满足的运算律： ⑴交换律：； ⑵与数乘的结合律：；注意：数量积本身不满足结合律！ ⑶对加法的分配律：． 考点2：求向量数量积、模长及夹角 例1.（1）设非零向量满足，则　　 A． B． C． D． （2）若向量，的夹角为，且，，则　　 A． B．14 C． D．8 （3）已知向量，，则　　 A． B． C． D． （4）已知向量，与的夹角为，则　　 A．3 B．2 C． D．1 （5）设向量的夹角为，且不等式对任意恒成立，则实数的值为　　 A．1 B． C． D． 课后作业： 1．设向量，，则　　 A． B．与同向 C．与反向 D．是单位向量 2．在中，为上一点，且，，若，则　　 A．， B．， C．， D．， 3．在等腰直角中，是斜边的中点，，则的值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知，满足：，，，则　　 A． B． C．3 D． 5．已知，是单位向量，若，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 目录 平面向量的数量积与坐标运算 2 模块一：平面向量的坐标运算 2 考点1：向量的坐标运算 2 模块二：平面向量的数量积 6 考点2：求向量数量积、模长及夹角 7 课后作业： 8 平面向量的数量积与坐标运算 模块一：平面向量的坐标运算 已知， 则：；；； ；； ；． 考点1：向量的坐标运算 例2.（1）已知向量，，若共线，则实数　　 A． B． C． D．6 【解答】解：向量，，共线， ， 解得实数． 故选：． （2）已知向量，，，则　　 A．1 B．2 C． D． 【解答】解：； ； ； ． 故选：． （3）已知平面向量，，若向量与向量共线，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：； 与共线； ； ． 故选：． （4）向量与不共线，若与平行，则等于　　 A． B．2 C． D． 【解答】解：向量与不共线，且与平行， 存在实数，使得， ，即． 故选：． （5）如图，在直角梯形 中，，，， 为 的中点，若，则的值为　　 A． B． C．2 D． 【解答】解：如图所示，建立直角坐标系． 不妨设，则，，， ，． ，，， ，，，，， ， 解得，． 则． 故选：． （6）已知是锐角，，，且，则为　　 A． B． C． D．或 【解答】解：由，，且， 得， ， ，， 则，即． 故选：． （7）已知向量，则下列结论正确的是　　 A． B． C．与垂直 D． 【解答】解：向量，， ，，故排除； ，故与 不垂直，故排除； ，，，故，故正确； ，故与不共线，故排除， 故选：． 例3.若，，则在上的投影为　　． 【解答】解： ； 由投影的定义可知，在上的投影为 故答案为： （2）已知向量，，，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为向量，，， ，所以与的夹角为． 故选：． 例4.在边长为1的等边三角形中，是的中点，为线段上一动点，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，，，， 设，， 所以，， 即，， 所以，，，， 所以， 由， 所以， 故选：． 模块二：平面向量的数量积 1．两个非零向量的夹角： 已知两个非零向量，作，则称作向量和向量的夹角，记作，并规定．当时，称． 2．向量数量积（内积）：的数量积记作，定义为． 3．向量的数量积满足的运算律： ⑴交换律：； ⑵与数乘的结合律：；注意：数量积本身不满足结合律！ ⑶对加法的分配律：． 考点2：求向量数量积、模长及夹角 例1.（1）设