2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题及参考答案

2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 3．（ ） A． B． C． D． 4．以为直径端点的圆方程是（ ） A． B． C． D． 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A． B． C． D． 6．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 7．若实数满足不等式组，则的最大值是（ ） A．2 B．4 C．5 D．6 8．若直线与平行，则与间的距离是（ ） A． B． C． D． 9．在中，角所对的边分别为，若，则（ ） A． B．或 C． D．或 10．已知平面和直线，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．若，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 13．已知数列的前项和为，且满足，则（ ） A． B． C． D． 14．如图，正方体中，分别为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 15．某简谐运动的图象如图所示.若两点经过秒后分别运动到图象上两点，则下列结论不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 16．已知函数，则函数的零点个数是（ ） A． B． C． D． 17．如图，椭圆的右焦点为分别为椭圆的上､下顶点，是椭圆上一点，，记椭圆的离心率为，则（ ） A． B． C． D． 18．如图，在三棱锥中，，分别为棱的中点，记直线与平面所成角为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、双空题 19．设等比数列的公比为，前项和为.若，则____，____. 三、填空题 20．已知平面向量满足，则______. 21．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是_______. 22．已知，若存在实数，使得成立，则的取值范围是________. 四、解答题 23．已知函数，. （1）求的值； （2）求函数的最小正周期； （3）当时，求函数的值域. 24．如图，直线与圆相切于点，与抛物线相交于不同的两点，与轴相交于点. （1）若是抛物线的焦点，求直线的方程； （2）若，求的值. 25．设，已知函数. （1）若是奇函数，求的值； （2）当时，证明：； （3）设，若实数满足，证明：. 试卷第2页，总6页 试卷第3页，总6页 参考答案 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B C B D A A C C D 题号 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 C A A D A B D B C 二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分．） 19．4，21 20． 21． 22． 三、解答题（本大题共3小题，共31分．） 23．（Ⅰ）， 即； （Ⅱ）， 故的最小正周期； （Ⅲ）当时，， 因此当，即时，； 当，即时，； 所以在上的值域为． 24．（Ⅰ）因为是抛物线的焦点，所以． 设直线的方程为，由直线与圆相切，得，即， 所以，直线的方程为． （Ⅱ）设直线的方程为，，，， 由，得，，，所以 ． 由直线与圆相切，得，即． 由，，得． 所以，又，解得． 由直线与互相垂直，得， ． 25．（Ⅰ）由题意，对任意，都有， 即，亦即，因此； （Ⅱ）证明：因为，， ． 所以，． （Ⅲ）设，则， 当时，； 当时，； ，， 所以． 由得，即． ①当时，，，所以； ②当时，由（Ⅱ）知， ，等号不能同时成立． 综上可知． $$