第4讲 函数的复习（讲义）-【教育机构专用】2020-2021学年八年级数学寒假辅导讲义（沪教版）

第4讲 函数的复习 模块一：正反比例函数 知识精讲 1、 正比例函数：y=kx（k≠0）；图像是一条直线，与坐标轴仅有一个交点；k>0时，随着x 的逐渐增大，函数值y的值越来越大；k<0时，随着x的逐渐增大，函数值y的值越来 越小． 2、 反比例函数：（k≠0），图像是双曲线，与坐标轴无交点；k>0时，在每一象限内， 随着x的逐渐增大，函数值y的值越来越小；k<0时，在每一象限内，随着x的逐渐增 大，函数值y的值越来越大． 例题解析 例1．下列函数（其中x是自变量）中，是正比例函数的是（ ） A．y= B．y=（ ）x C．y=x+1 D．y= 【答案】B 【分析】根据正比例函数y=kx的定义条件：k为常数且k≠0，自变量次数为1，逐项判断即可. 【详解】A、y=，不符合正比例函数定义，不是正比例函数，故本选项错误； B、 中，k=≠0，符合正比例函数定义，故本选项正确； C、y=x+1中，b=1，是一次函数，但不是正比例函数，故本选项错误； D、y=不符合正比例函数定义，不是正比例函数，故本选项错误. 故选：B 【点睛】本题考查正比例函数的定义，判断每个选项是否符合正比例函数定义的条件是解答本题的重要途径. 例2．如果是正比例函数，那么______． 【答案】-3 【分析】根据正比例函数的定义可得出关于k的方程，解出即可． 【详解】解：∵是正比例函数， ∴k2-9=0且k-3≠0，解得k=-3，故答案是：-3． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义，应注意求出k的值时，不要忘记检验k-2≠0这个条件． 例3（1）正方形的周长c与正方形的对角线长a_______正比例（填“成”或“不成”）； （2）已知正比例函数的自变量x减少2时，对应函数的值增加3，则这个函数的解析式为________________． 【难度】★ 【答案】（1）成；（2）． 【解析】（1）正方形的对角线长为，则正方形的边长为，则， 为一定值，所以成正比例． （2） 设，则由题意，可得：，解得：， 从而可得这个函数的解析式为． 【总结】考察正比例的定义和正比例函数解析式的求法． 例4（1）如果y=kx+2k+x是正比例函数，求k的值； （2）如果是反比例函数，求m的值． 【难度】★ 【答案】（1）0；（2）4． 【解析】（1）因为是正比例函数，所以，解得：； （2）因为函数是反比例函数， 所以可得， ，∴． 【总结】考察正比例函数和反比例函数的定义，注意比例系数要不为零． 例5（1）正比例函数经过第___________象限，y随x增大而_________； （2）反比例函数经过第___________象限，在同一象限内，y随x增大而_________． 【难度】★ 【答案】（1）一、三，增大；（2）一、三，减小． 【解析】（1）因为是正比例函数，所以可得，解得：， ∴函数解析式为，图像过一、三象限，y随x的增大而增大； （2） 因为是反比例函数，所以可得，解得：， ∴函数解析式为，图像过一、三象限，y随x的增大而减小． 【总结】考察正、反比例函数的概念和性质，注意比例系数不为零． 例6.已知正比例函数y=k1x，函数值y随着x的增大而减小，反比例函数y=(k2<0)，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）. 【难度】★ 【答案】A 【解析】由题意可知：正比例函数在二、四象限；反比例函数在二、四象限，故选A． 【总结】考察正、反比例函数的图像及性质． 例7．已知，与成正比例，与成反比例，当时，；时，．求：关于的函数解析式 【答案】 【分析】设，，得到，将x与y的两组对应值代入得到二元一次方程组，求出解集即可得到答案. 【详解】解：设，，则， 根据题意得：，解得：， 则函数解析式是：. 【点睛】此题考查正比例函数的定义，反比例函数的定义，求出二元一次方程组的解，正确理解正比例函数与反比例函数的定义并正确计算是解题的关键. 例8.已知正比例函数的图像上一点P的横坐标是2，作PD⊥x轴（O是坐标原点，D是垂足），OPD的面积是6，求这个正比例函数的解析式． 【难度】★★ 【答案】或． 【解析】由题意可得：，，则，∴或 则正比例函数的解析式为或 【总结】考察正比例函数解析式的求法，注意长度转成点坐标需要注意正负． 例9.已知如图，点A，B是反比例函数y=图像上的点，分别经过A，B两点向x轴、y轴做垂线段，若_________(指的是空白矩形的面积)． 【难度】★★ 【答案】4 【解析】∵，，， ∴，，∴． 【总结】考察反比例函数的面积问题．过反比例函数 上任意一点作x轴、y轴的垂线，构成的矩形的面积为． 例10.已知A（0，4）、B（6，4）、C（6，0）三点，经过原点的