寒假作业二 空间向量的数量积运算-【我的假期我做主】2021年新教材高二数学寒假作业

　　在数学中,我们发现真理的主要工具是归纳和模拟．———拉普拉斯３２ 参考答案 寒假作业一　空间向量及其线性运算 [知识梳理] １．(１)大小　方向　(２)大小　(３)有向线段　AB→　|a|　|AB→| ２．任意　０　０　１　相反　－a　BA→　相等 ３．(１)OA→＋OC→　OA→－OC→　b＋a　a＋(b＋c)　(２)λa　 向 量 　 相 同 　 相反　０　|λ|　μ(λa)　(λμ)a　λa＋μa　λa＋λb　 ４．(１)互相平行或重合　共线向量　(２)平行　(３)a＝λb ５．(１)同一个平面　(２)p＝xa＋yb　 (３)xAB→＋yAC→　OA→＋xAB→＋ yAC→ [学业测评] １．BCD　根据向量的定义,知长 度 相 等、方 向 相 同 的 两 个 向 量 是 相 等 向 量,A 正确;平行且模相等的两个向量可能是相等向量,也可能是相 反 向量,B不正确;当a＝－b时,也 有|a|＝|b|,C 不 正 确;只 要 模 相 等、 方向相同,两个向量 就 是 相 等 向 量,与 向 量 的 起 点 与 终 点 无 关,D 不 正确． ２．D 　 如 图,取 CD 的 中 点 F,连 接 AF,EF, ∵ 三 棱 锥 AＧBCD 中,E 是 BC 的 中点, ∴AE→－ １２ (AC →＋AD→)＝AE→－AF→＝ FE→＝ １２DB →． ３．ABCD　如图所示: 对于 A:AB→＋BC→＋CC１→＝AC→＋CC１→＝AC１→, 对于 B:AA１→＋B１C１→＋D１C１→＝AD１→＋D１C１→＝AC１→, 对于 C:AB→－C１C→＋B１C１→＝AB１→＋B１C１→＝AC１→, 对于 D:AA１→＋DC→＋B１C１→＝AB１→＋B１C１→＝AC１→． ４．B　MG→－AB→＋AD→＝MG→＋BD→＝MG→＋２MG→＝３MG→． ５．A　取 AD 的中点为G,连接 GE．由已知得 GE∥CD,所 以 DF∥EG, 又因为 D 是GB 的中点,所以 F 是BE 的中点, 所以AF→＝ １２ (AB →＋AE→)＝ １２ (AB →＋ １２AC →)＝ １２AB →＋ １４AC →． 所以a＝ １２ ,b＝ １４ ． ６．C　在 C 中,由MA→＋MB→＋MC→＝０,得MA→＝－MB→－MC→,则MA→,MB→, MC→为共面向量,即 M,A,B,C 四点共面; 对于 A,由OM→＝OA→－OB→－OC→,得１－１－１＝－１≠１,不能得出 M,A, B,C 四点共面; 对于 B,由OM→＝ １５OA →＋ １３OB →＋ １２OC →,得 １ ５ ＋ １ ３ ＋ １ ２ ≠１ ,所 以 M,A,B,C 四点不共面; 对于 D,由OM→＋OA→＋OB→＋OC→＝０,得OM→＝－(OA→＋OB→＋OC→),其 系 数和不为１,所以 M,A,B,C 四点不共面． ７．解析:４a－３b＝４ １２i－j＋k( ) －３(５i－２j－k)＝－１３i＋２j＋７k． 答案:－１３i＋２j＋７k ８．解析:MN→＝ON→－OM→＝ １２ (OB →＋OC→)－ ２３ OA →＝ － ２３a＋ １ ２b＋ １ ２c． 答案:－ ２３a＋ １ ２b＋ １ ２c ９．解析:∵ 在 三 棱 柱 ABCＧA１B１C１ 中,M 为△A１B１C１ 的重心, AB→＝a,AC→＝b,AA１→＝c, ∴AC１→＝AC→＋CC１→＝b＋c, CM→＝CC１→＋C１M→＝c＋ ２３C１D →＝c＋ ２３ × １ ２ (C１A１→＋C１B１→) ＝c＋ １３ (－b＋AB→－AC→)＝c＋ １３ (－b ＋a－b)＝c＋ a３ － ２b ３ ． 答案:b＋c　c＋ a３ － ２b ３ １０．解析:由平行六面体 ABCDＧA１B１C１D１, 则AC１→＝AB→＋AD→＋AA１→,与AC１→＝aAB→＋２bAD→＋３cA１A→比较, 可得:a＝１,２b＝１,３c＝－１． 解得a＝１,b＝ １２ ,c＝－ １３ ,则abc＝－ １６ ． 答案:－ １６ １１．解析:(１)∵OA→＋OB→＋OC→＝３OM→, ∴OA→－OM→＝(OM→－OB→)＋(OM→－OC→), ∴MA→＝BM→＋CM→＝－MB→－MC→, ∴向量MA→,MB→,MC→共面． (２)由(１)知向 量MA→,MB→,MC→共 面,而 它 们 有 共 同 的 起 点 M,且 A, B,C 三点不共线,∴M,A,B,C 共面,即 M 在平面ABC 内． １２．证明:设AB→＝a,AD→＝b,AA１→＝c, 因为A１E→＝２ED１→,A１F→＝ ２３FC →, 所以A１E→＝ ２３A１D１ →,A１F→＝ ２５A１C →, 所以A１E→＝ ２３AD →＝ ２３b, A１F→＝ ２５ (AC →－