寒假作业十八 三角恒等变换-【我的假期我做主】2021年新教材高一数学寒假作业

　　数学是人类智慧皇冠上最灿烂的明珠．———考特 ４５ ７．解析:函数y＝tan２x 的最小正周期为 π ２ ． 答案:π ２ ８．解析:由log１ ２ sinx≥０知０＜sinx≤１, 由正弦函数图象(图略)知２kπ＜x＜２kπ＋π,k∈Z． 答案:{x|２kπ＜x＜２kπ＋π,k∈Z} ９．解析:y＝sinx＋２|sinx| ＝ ３sinx ,０≤x≤π, －sinx,π＜x≤２π,{ 由题意在同一坐 标 系 中 作 出 两 函 数 的 图 象 如 图 所示,若有两个不同的交 点,则 １＜k＜３．若 有 四 个不同的交点,则０＜k＜１． 答案:(１,３)　(０,１) １０．解析:y＝－ １ ３sin x－ π ３( ) , ∵x∈[０,π],∴－ π３ ≤x－ π ３ ≤ ２π ３ ． 要求函数的单调递增区间,则 π ２ ≤x－ π ３ ≤ ２π ３ , 即５π ６ ≤x≤π．∴y＝ １ ３sin π ３ －x( ) (x∈ [０,π])的 单 调 递 增 区 间 为 ５π ６ ,π[ ] ． 答案: ５π ６ ,π[ ] １１．解析:(１)y＝ １ ２sinx＋ １ ２|sinx| ＝ sinx ,x∈[２kπ,２kπ＋π],k∈Z, ０,x∈(２kπ－π,２kπ),k∈Z,{ 图象如图所示: (２)由图象知该函数是周期函数,且最小正周期是２π． １２．解析:(１)因为f(x)＝３tan π ６ － x ４( ) ＝－３tan x ４ － π ６( ) , 所以 T＝ πω ＝ π １ ４ ＝４π． 由kπ－ π２ ＜ x ４ － π ６ ＜kπ＋ π ２ (k∈Z), 得４kπ－４π３ ＜x＜４kπ＋ ８π ３ (k∈Z)． 因为y＝３tan x ４ － π ６( ) 在 ４kπ－ ４π ３ ,４kπ＋８π３( ) (k∈Z)内单调递增, 所以f(x)＝－３tan x ４ － π ６( ) 在 ４kπ－４π３ ,４kπ＋８π３( ) (k∈Z)内单调递减． 故原函数的最小正周期为４π． 单调递减区间为 ４kπ－４π３ ,４kπ＋８π３( ) (k∈Z)． (２)f(π)＝３tan π ６ － π ４( ) ＝３tan － π １２( ) ＝－３tan π １２ , f ３π ２( ) ＝３tan π ６ － ３π ８( ) ＝３tan － ５π ２４( ) ＝－３tan ５π ２４ , 因为０＜ π１２＜ ５π ２４＜ π ２ , 且y＝tanx 在 ０, π ２( ) 上单调递增, 所以tan π１２＜tan ５π ２４ ,所以f(π)＞f ３π ２( ) 寒假作业十八　三角恒等变换 知识梳理 １．cosαcosβ－sinαsinβ　sinαcosβ－cosαsinβ　sinαcosβ＋cosαsinβ ２．２sinαcosα　cos２α－sin２α　２cos２α－１　１－２sin２α　１＋cos２α２ 　 １－cos２α ２ 　 ２tanα １－tan２α 学业测评 １．C　sin１６２°cos７８°＋cos１６２°sin７８°＝sin(１６２°＋７８°) ＝sin２４０°＝sin(１８０°＋６０°)＝－sin６０°＝－ ３２ ． ２．B　sin α＋ π４( ) ＝５sin α－ π ４( ) ,所以sinα＋cosα＝５(sinα－cosα), 整理得４sinα＝６cosα,故tanα＝sinαcosα＝ ３ ２ ． ３．AB　对于 A,cos３６°cos７２°＝２sin３６°cos３６°cos７２°２sin３６° ＝ ２sin７２°cos７２° ４sin３６° ＝sin１４４°４sin３６°＝ １ ４ ,故 A 正确; 对于 B,sin π１２sin ５π １２ ＝sin π １２cos π １２ ＝ １ ２ 􀅰２sin π１２cos π １２ ＝ １ ２sin π ６ ＝ １ ４ ,故 B正确; 对于 C,原式＝cos５０°＋ ３sin５０°sin５０°cos５０° ＝ ２ ３ ２sin５０°＋ １ ２cos５０°( ) １ ２sin１００° ＝ ２sin８０°１ ２sin１００° ＝ ２sin８０°１ ２sin８０° ＝４,故 C 错误; 对于 D,１３ － ２ ３cos ２１５°＝－ １３ (２cos２１５°－１)＝－ １３cos３０°＝－ ３ ６ , 故 D 错误． ４．B　由题意可得tanα＋tanβ＝－３ ３,tanαtanβ＝４; 所以tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ １－tanαtanβ ＝－３ ３１－４ ＝ ３ ; 因为α,β∈ － π ２ ,π ２( ) ,tanα＋tanβ＝－３ ３＜０, tanαtanβ＝４＞０, 所以α,β∈ － π ２ ,０( ) ,所以α＋β∈ －π