综合检测一 （基础卷）函数与导数 2021年高考数学二轮全真模拟专题检测双优卷

综合检测一 （基础卷）函数与导数 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数是定义在区间上的偶函数，当时，是减函数，如果不等式成立，则实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 因为函数是定义在区间上的偶函数， 所以等价于， 因为当时，单调递减， 所以，解得. 故选：A 2．若存在斜率为()的直线与曲线和都相切，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 设直线与、的切点分别为， 则由，，得，解得， ∴两切点重合，即，∴， 依题意在上有解， 令()，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ∴， ∴，即， 故选：A. 3．若定义在上的函数满足，，则不等式 (其中为自然对数的底数)的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 令， 则， 所以在上单调递增， 又因为， 所以， 即不等式的解集是， 故选：C 4．函数与函数的图象的交点个数为（ ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【解析】 “函数与函数的图象的交点个数”等价于“函数与函数的图象的交点个数”. 注意到两个函数都是奇函数，且. 故考查当时两函数交点的个数，绘制函数图象如图所示， 因为，所以此时函数的减区间为，增区间为. 当时，；当时，， 故当时两函数交点的个数为4. 结合函数的对称性可知函数与函数交点的个数为8. 综上可得，函数与函数的图象的交点个数为8. 故选：B. 5．已知函数，若函数f(x)在R上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 对于任意给定的不等实数，，在为增函数. 令，. 要使函数在上为增函数， 则有在区间上为增函数， 在区间上为增函数且， ∴，解得. 故选：D 6．定义域为的函数满足，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ∵且，∴是奇函数， 设，则时，，∴在是减函数． 又是奇函数，∴也是奇函数，因此在是递减， 从而在上是减函数， 不等式为，即，∴． 故选：B． 7．若关于的不等式的解集为()，且中只有一个整数，则实数的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 设，， ，由，解得，由解得 所以在上单调递减，在上单调递增. 又当 ，且，又，则的大致图象如下 由题意由不等式有唯一整数解，即不等式有唯一整数解 即在直线下方的部分， 故，恒过定点， 结合函数图像得，即， 故选：B． 8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，，则下列叙述正确的是（ ） A．是偶函数 B．在上是增函数 C．的值域是 D．的值域是 【答案】B 【解析】 对于A，根据题意知，. ∵， ， ，∴函数不是偶函数，故A错误； 对于B，在上是增函数，则在上是减函数，则在上是增函数，故B正确； 对于C，，， ，即的值域是，故C错误； 对于D，的值域是，则的值域是，故D错误. 故选：B. 9．已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，满足，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ∵，∴， ∵函数在区间内取得极大值，在区间内取得极小值， ∴在和内各有一个根， 所以，，， 即， 在坐标系中画出其表示的区域， ， 令，其几何意义为区域中任意一点与点连线的斜率， 由图可得，即，则， ∴的取值范围是， 故选：C. 10．关于函数，下列判断错误的是（ ） A．函数的图像在点处的切线方程为 B．是函数的一个极值点 C．当时， D．当时，不等式的解集为 【答案】B 【解析】 因为，所以，， 所以，因此函数的图像在点处的切线方程为，即，故A正确； 当时，在上恒成立，即函数在定义域内单调递减，无极值点；故B错； 当时，，由得；由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 因此，即；故C正确； 当时，在上恒成立，所以函数在上单调递减；由可得，解得：，故D正确； 故选：B. 11．设函数的定义域为，，，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由于函数的定义域为，，， 所以，，则函数是周期为的周期函数，且该函数的图象关于直线对称. 对于函数， ， 所以，函数的图象关于直线对称. 令，可得，则问题转化为函数与函数在区间上所有交点的横坐标之和. 作出函数与函数在区间上的图象，如下图所示： 设函数与函数在区间上所有交点的横坐标由