7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义-2020-2021学年高一数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版2019必修第二册）

7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 导学案 编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 【学习目标】 1.利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题 2.注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法 【自主学习】 知识点1 复数的三角形式的运算 设z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，则 (1)乘法：z1·z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． (2)除法：z1÷z2＝＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)](其中z2≠0)， 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． (3)乘方：zn＝rn(cosnθ＋isinnθ)． (4)开方：＝(cos＋isin)(k＝0,1,2，…，n－1)． 知识点2 复数三角形式乘、除运算的几何意义 两个复数z1，z2相乘时，可以像图中所示那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转一个角θ2(如果θ2<0，就要把按顺时针方向旋转一个角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.这就是复数乘法的几何意义． z2≠0，的几何意义是把z的对应向量按顺时针方向旋转一个角θ2(如果θ2<0，就要把按逆时针方向旋转一个角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，所得的向量即表示商. 【合作探究】 探究一 复数的三角形式的乘、除运算 【例1】(cos＋isin)·(cos＋isin)． [解]　(cos＋isin)·(cos＋isin) ＝·[cos(＋)＋isin(＋)] ＝(cos＋isin) ＝(＋i)＝＋i. 归纳总结：r1cosθ1＋isinθ1·r2cosθ2＋isinθ2＝r1r2[cosθ1＋θ2＋isinθ1＋θ2]计算，简便得多.这就是复数的三角形式乘法运算公式. 【练习1】设复数z＝cosθ＋isinθ，θ∈(π，2π)，求复数z2＋z的模和辐角． 解：z2＋z＝(cosθ＋isinθ)2＋cosθ＋isinθ ＝cos2θ＋isin2θ＋cosθ＋isinθ ＝(cos2θ＋cosθ)＋i(sin2θ＋sinθ) ＝2coscos＋i(2sincos) ＝2cos(cosθ＋isinθ) ＝－2cos . ∵θ∈(π，2π)，∴∈(，π)， ∴－2cos>0， 所以复数z2＋z的模为－2cos，辐角为(2k－1)π＋(k∈Z)． 探究二 复数的乘、除运算的几何意义 【例2】向量与－1＋i对应，把按逆时针方向旋转120°，得到，求与向量对应的复数 [解]　将向量逆时针方向旋转120°，得到，由于模未发生变化，应当是对应复数乘以1·(cos120°＋isin120°)， 即z′＝(－1＋i)(cos120°＋isin120°)＝(cos135°＋isin135°)(cos120°＋isin120°)＝(cos255°＋isin255°)＝－i. 归纳总结：利用复数乘、除法的几何意义来解决三角形中角的大小问题，十分方便 【练习2】如图，已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数证明∠1＋∠2＋∠3＝. 证明：∠1，∠2，∠3分别等于复数1＋i,2＋i,3＋i的辐角主值，这样∠1＋∠2＋∠3就是(1＋i)(2＋i)(3＋i)＝10i的辐角，∠1，∠2，∠3都是锐角，所以∠1＋∠2＋∠3＝. 课后作业 A组 基础题 一、选择题 1．复数(sin10°＋icos10°)3的三角形式为(　　) A．sin30°＋icos30°　　　　 B．cos240°＋isin240° C．cos30°＋isin30° D．sin240°＋icos240° 【答案】B 2．若z＝cos θ－isin θ，则使z2＝－1的θ值可能是(　　) A．0　　　　B. C．π　　　　D．2π 【答案】B 解析：∵z＝cosθ－isinθ＝cos(－θ)＋isin(－θ)， ∴z2＝z·z＝cos(－2θ)＋isin(－2θ)＝cos2θ－isin2θ＝－1， ∴∴θ＝. 3．4(cos60°＋isin60°)×3(cos150°＋isin150°)＝(　　) A．6＋6i B．6－6i C．－6＋6i D．－6－6i 【答案】D 解析：4(cos60°＋isin60°)×3(cos150°＋isin150°)＝12[cos(60°＋150°)＋isin(60°＋150°)]＝12(cos210°＋isin210°