7.1.2 复数的几何意义-2020-2021学年高一数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版2019必修第二册）

7.1.2复数的几何意义 导学案 编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 【学习目标】 1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数，及它们之间的一一对应关系 2.掌握实轴、虚轴、模等概念. 3.掌握用向量的模表示复数的模的方法. 【自主学习】 知识点1　复平面的概念和复数的几何意义 1.复平面的概念 根据复数相等的定义，任何一个复数z＝a＋bi，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定.因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数的几何意义 按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义. 3.复数集与复平面中的向量的一一对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样，我们还可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 知识点2　复数的模 1.如图所示，向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|.如果b＝0， 那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R). 2.复数的模的性质，设z1，z2是任意两个复数，则 (1)|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝(|z2|≠0)(复数的乘、除法将在下节学习到). (2)|z|＝|z1|n(n∈N*). (3)≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是： ①当|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线； ②当||z1|－|z2||＝|z1＋z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线. (4)||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是：①当|z1－z2|＝|z1|＋|z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线；②当||z1|－|z2||＝|z1－z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线. 【合作探究】 探究一 复数与复平面内的点 【例1】在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围. 解　复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10. (1)由题意得m2－2m－8＝0. 解得m＝－2或m＝4. (2)由题意，∴2<m<4. (3)由题意，(m2－2m－8)(m2＋3m－10)<0， ∴2<m<4或－5<m<－2. (4)由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝. 归纳总结： 【练习1】实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i. (1)对应的点在x轴上方； (2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上. 解　(1)由m2－2m－15>0，得m<－3或m>5，所以当m<－3或m>5时，复数z对应的点在x轴上方. (2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0， 得m＝1或m＝－，所以当m＝1或m＝－时， 复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上. 探究二 复数的模的几何意义 【例2】设z∈C，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形. (1)|z|＝2； (2)1≤|z|≤2. 解　(1)方法一　|z|＝2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆. 方法二　设z＝a＋bi，由|z|＝2，得a2＋b2＝4.故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆. (2)不等式1≤|z|≤2可以转化为不等式组 不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2及该圆内部所有点的集合. 不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1及该圆外部所有点的集合. 这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合.如图中的