专题15 运用空间向量研究立体几何问题-2021年高考数学二轮优化提升专题训练（新高考地区专用）【学科网名师堂】

专题15 运用空间向量研究立体几何问题 【知识框图】 【自主热身，归纳总结】 1、【2018年高考全国Ⅱ卷理数】在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方法一：用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面，如图，则 ，连接 ，易求得 ， ，则 是异面直线 与 所成的角， 由余弦定理可得 . 故选C. 方法二：以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则 ,所以 , 因为 ， 所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ，故选C. 2、【2020年高考天津】如图，在三棱柱 中， 平面 ， ，点 分别在棱 和棱 上，且 为棱 的中点． （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求二面角 的正弦值； （Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值． 【解析】依题意，以 为原点，分别以 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得 ， ， ． （Ⅰ）证明：依题意， ， ，从而 ，所以 ． （Ⅱ）解：依题意， 是平面 的一个法向量， ， ．设 为平面 的法向量，则 即 不妨设 ，可得 ． 因此有 ，于是 ． 所以，二面角 的正弦值为 ． （Ⅲ）解：依题意， ．由（Ⅱ）知 为平面 的一个法向量，于是 ． 所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 3、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1． （1）证明：BE⊥平面EB1C1； （2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值． 【解析】（1）由已知得， 平面 ， 平面 ， 故 ． 又 ，所以 平面 ． （2）由（1）知 ．由题设知 ≌ ，所以 ， 故 ， ． 以 为坐标原点， 的方向为x轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D–xyz， 则C（0，1，0），B（1，1，0）， （0，1，2），E（1，0，1）， ， ， ． 设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则 即 所以可取n= . 设平面 的法向量为m=（x，y，z），则 即 所以可取m=（1，1，0）． 于是 ． 所以，二面角 的正弦值为 ． 4、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】如图，边长为2的正方形 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 ， 的点． （1）证明：平面 平面 ； （2）当三棱锥 体积最大时，求面 与面 所成二面角的正弦值． 【解析】（1）由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD. 因为BC⊥CD,BC 平面ABCD,所以BC⊥平面CMD, 故BC⊥DM. 因为M为 上异于C，D的点,且DC为直径， 所以 DM⊥CM. 又 BC CM=C, 所以DM⊥平面BMC. 而DM 平面AMD, 故平面AMD⊥平面BMC. （2）以D为坐标原点, 的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz. 当三棱锥M−ABC体积最大时，M为 的中点. 由题设得 ， 设 是平面MAB的法向量,则 即 可取 . 是平面MCD的法向量,因此 ， ， 所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是 . 【问题探究，变式训练】 题型一 、运用向量研究线面角 例1、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F． （1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F； （2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值． 【解析】（1）因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以 ．又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN． 因为△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N．又B1C1⊥MN，故B1C1⊥平面A1AMN． 所以平面A1AMN⊥平面 ． （2）由已知得AM⊥BC．以M为坐标原点， 的方向为x轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz，则AB=2，AM= ． 连接NP，则四边形AONP为平行四边形，故 ．由（1）知平面A1AMN⊥平面ABC，作NQ⊥AM，垂足为Q，则NQ⊥平面ABC． 设 ，则 ， 故 ． 又 是平面A1AMN的法向量，故 ． 所以直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为 ． 变式1、【2020年高考浙江】如图，在三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC． （Ⅰ）证明：EF⊥DB； （Ⅱ）求直线DF与平面DBC所成角的正弦值． 【解析】（Ⅰ）如图，过点D作 ，交直线AC于点 ，连结OB． 由 ， 得 ， 由平