1.3突破训练：二次根式应用-简单数学2021年中考一轮复习宝典（全国通用）

1.3突破训练：二次根式应用 类型体系（本专题共52题31页） 类型1：秦九昭-海伦公式的应用 典例：（2019·长春市第五十二中学九年级期中）数学阅读：在《九章算术》中有求三角形面积公式“底乘高的一半”，但是在实际丈量土地面积时，量出高并非易事，所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积．我国南宋著名的数学家秦九韶（年年）提出了“三斜求积术，阐述了利用三角形三边长求三角形面积方法，简称秦九韶公式，在海伦（公元年左右，生平不详）的著作《测地术》中也记录了利用三角形三边长求三角形面积的方法，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德（公元前年公元前年）得出的，故我国称这个公式为海伦-秦九韶公式，它的表述为：三角形三边长分别为、、，则三角形的面积，其中． 请利用海伦-秦九韶公式解决以下问题： 如图①，在中，，，． 图① （1）的面积； （2）设边上的高为，求的值； （3）如图②，、分别为的两条角平分线，它们的交点为，则的面积为______． 图② 【答案】（1）；（2）；（3）． 【详解】 解：（1），，， 即，，， ， ， = 的面积为． （2）由（1）知， 又， ， ． （3）连接，过作于，于，于， 平分，，， ， 同理 ， ，，， 故答案为：. 方法或规律点拨 本题考查了二次根式的应用和角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，并根据新公式代入计算． 巩固练习 1．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为如图，在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，． ， 的面积； 故选A． 2．（2020·山西八年级期末）对于已知三角形的三条边长分别为,,，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：，其中,若一个三角形的三边长分别为,,，则其面积（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 根据题意，若一个三角形的三边长分别为，，4，则 其面积为 故选：A． 3．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦-秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是记，那么三角形的面积为．如果在中，所对的边分别记为，若，则的面积为________． 【答案】 【详解】 解：∵a＝5，b＝6，c＝7． ∴p＝=9， ∴△ABC的面积S＝， 故答案为：． 4．（2020·重庆育才成功学校八年级月考）阅读下列材料，并完成相应的任务． 古希腊的数学家海伦在他的著作《度量论》一书中给出了利用三角形三边之长求面积的公式：海伦公式 （其中a，b，c是三角形的三边长，，S为三角形的面积），并给出了证明． 例如：在中，，那么它的面积可以这样计算： 事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，我国南宋时期数学家秦九韶在1247年提出的“三斜求积术”，完全与海伦公式等价，因此海伦公式也叫做海伦一秦九韶公式． 根据上述材料，解答下列问题： 如图，在中， （1）用海伦公式求的而积： （2）如图，为的两条角平分线，它们的交点为O，求的面积． 【答案】（1）84；（2）30 【详解】 （1）在中，，那么它的面积可以这样计算： ， ∴的面积是84 （2）连接OC，过点O作OF⊥AB、OG⊥AC、OH⊥BC，垂足分别为点F、G、H， ∵为的两条角平分线, 且OF⊥AB、OG⊥AC、OH⊥BC ∴OF=OH=OG， ∵, ∴, ∴ 解得： ∴ 5．（2020·成都嘉祥外国语学校成华校区八年级期中）秦九韶是我国南宋著名数学家，他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，被誉为“他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”秦九韶所提出的大衍求一术和正负开方术及其名著《数书九章》，是中国数学史乃至世界数学史上光彩夺目的一页，对后世数学发展产生了广泛的影响．如果一个三角形三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶﹣﹣海伦公式：S＝（其中p＝（a+b+c））或其它方法求出这个三角形的面积S．试求出三边长分别为、3、2的三角形的面积S． 【答案】3 【详解】 解：∵三角形的三边长分别为、3、2， ∴p＝＝， ∴p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c）＝×（）×（﹣3）×（﹣2）＝9， ∴S＝＝＝3， 即该三角形的面积S为3． 6．（2020·山西九年级期中）请阅读下列材料，并解决问题： 海伦—秦九韶公式 海伦（约公元年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：假设在平面内，有一个三角形的三条