辽宁省营口市普通高中2020—2021学年度上学期期末高二数学试题

1 参考答案及评分标准 1B 2C 3A 4A 5C 6B 7A 8B 9CD 10BC 11AD 12ACD 13 x+y－1＝0 . 14 x＋2y－12＝0 15 若 l⊥m，l⊥α，则 m∥α 也可以 若 m∥α，l⊥α，则 l⊥m (答案不唯一) 16 ( 8,5 3) 17 解：(1) 2 2 5 2 12 6 4 5 12 m     (3 分) 解得 m= 17 3 或 m= 3 (5 分) (2) 直线 l1:ax－y－3=0 与 l2: －3x+ay+6=0 平行，则a 3 (7 分) 所以直线 l1 与 l2 之间的距离为； 3 3 2 d   (10 分) 18 解：(1)证明：如图①所示， 连接 B1C 交 BC1 于点 O，连接 OD. ∵O 为 B1C 的中点，D 为 AC 的中点，∴OD∥AB1.(3 分) ∵AB1⊄ 平面 BC1D，OD⊂平面 BC1D， ∴AB1∥平面 BC1D. (6 分) ① ② (2)建立如图②所示的空间直角坐标系 Bxyz. 则 B(0,0,0)，A1(0,2,2)，C1(2,0,2) ．D(1,1,0) 2 ∴BA1 → ＝(0，2,2)，BC1 → ＝(2,0,2)．BD → ＝(1,1,0) (8 分) 设平面 BDC1 的一个法向量为 n =(x,y,z) 1 0 0 BD BC         n n 即 0 0 x z x y      令 1x   则 n =(－1,1,1) (10 分) cos〈 n ，BA1 → 〉＝ n n   1 1 BA BA ＝ 0＋2＋2 2 2× 3 ＝ 6 3 . 所以直线 A1B 与平面 BDC1 所成的角的正弦值为 6 3 (12 分) 19 解：(1)设圆心为 C(a,b)，(a>0 , b>0)，半径为 r， 则圆的方程为 2 2 2( ) ( )x a y b r    ….1 分 由题意可得 2 21 b r  ①…….2 分 2 2 22( ) 2 r a r  ②…….3 分 | 2 | 5 55 a b  ③…….4 分 由①②③可得 2 2r  5 分 1 1 a b    或 5 7 1 7 a b        (舍去)……6 分 1 1 a b      (舍去) 或 5 7 1 7 a b        (舍去)…….7 分 所求的圆的方程为 2 2( 1) ( 1) 2x y    …….8 分 说明：其它解法参照上述评分标准给分 (2) 当切线的斜率不存在时，切线方程为 1 2x   …….9 分 3 当切线的斜率存在时，切线方程为 ( 1 2) 3y k x    …….10 分 即 (1 2) 3 0kx y k     而圆的方程为 2 2( 1) ( 1) 2x y    则 2 1 (1 2) 3 2 1 k k k       ，解得 2 4 k   …….11 分 所以圆的切方程为 2 2 5 2 1 0x y    …….12 分 20 (1)没 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l 的方程为 x=ny+2，与抛物线方程联立，并整 理得 y2 2pny4p=0， 所以 yl+y2=2pn，yly2= 4p，…………………..2 分 所以OA → ·OB → = xlx2+ yly2= 2 2 1 2 2 y y 4p + yly2 = 4 4p=4…………………..5 分 所以 P=2．…………………………………………..6 分 (2)由(1)得 yl+y2=4n，yly2= 8． x1+x2=n(yl+y2)+4=4n2 + 4，xlx2= 2 2 1 2y y 16 =4，…………………..7 分 所以EA → ·EB → =( x1+2)( x2+2)+(y1 1)(y2 1) =x1x2+2(x1+x2)+4+yly2 (y1+y2)+1 =4+8n2+8+4 84n+1=8n2 4n+9=8(n 1 4 )2+ 17 2 ≥ 17 2 ，…………………..10 分 当且仅当 n= 1 4 时，取最小值， 此时直线 l 的方程为 x= 1 4 y+2，即 4xy8=0．…………………………….12 分 21(1)证明：由翻折的性质可知，翻折后，SA⊥AB，AD⊥AB． 所以∠SAD 为二面角 S—AB—C 的平面角， 又因为二面角 S—AB—C 为直二面角， 所以∠SAD=90°，即 SA⊥AD．