新课衔接站01 16.1-16.2 二次根式定义及乘除 知识精讲-2020-2021学年八年级数学寒假学习精编讲义（人教版）

2020-2021学年人教版八年级数学寒假学习精编讲义 新课衔接站01 16.1-16.2 二次根式定义及乘除 1．二次根式的概念 一般地，我们把形如 （a>0）的式子叫做二次根式，“ ”称为__________． 理解二次根式的概念，要把握以下四点： （1）必须含有二次根号“ ，“ ”的根指数为2，即“ ”，我们一般省略根指数2，写作“ ”． （2）被开方数必须是非负数，如 和 都不是二次根式． （3）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子． （4）式子a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， ≥0．二次根式具有双重非负性． 【注意】（1）在具体问题中，如果已知二次根式 ，就隐含a≥0这一条件． （2）形如 的式子也是二次根式，b与 是相乘的关系，要注意当b是分数时不能写成带分数，例如 可写成 ，但不能写成 ． 2．二次根式有无意义的条件 类型 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数（式）为非负数 有意义 a__________0 二次根式无意义 被开方数（式）为负数 无意义 a__________0 3．二次根式的性质 （1） ； （2） ； （3） ． 【拓展】（1）若 ，则a=0，b=0； （2）若 ，则a=0，b=0； （3）若 ，则a=0，b=0； （4）若 ，则a=0，b=0，c=0． 4．代数式 用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫__________．例如3，x，x+y， ，-ab， ，x3都是代数式． 【注意】（1）代数式中不能含有关系符号（“=”“>”或“<”等）． （2）将两个代数式用关系符号（“=”“>”或“<”等）连接起来的式子叫关系式．方程和不等式都是关系式．如2x+3>3x-5就是关系式． 5．二次根式的乘法法则 （1）一般地，二次根式的乘法法则是： ． 语言叙述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数__________． 在进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件． 推广：① ． ② ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数； ③乘法交换律和结合律以及乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的乘法中仍然可应用． （2）二次根式乘法法则的逆用 ． 语言叙述：积的算术平方根等于积中各因数或因式的算术平方根的积． 公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0．实际上，a≥0，b≥0是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可． 二次根式乘法法则的逆用也称为积的算术平方根，在进行二次根式的乘法运算时，这两个关系经常交替使用． 推广： ． 运用这个性质可以化简二次根式：如果一个二次根式的被开方数有的因数（式）是完全平方数（式），则可以利用性质 及 将这些因数（式）“开方”出来，从而将二次根式化简． 利用积的算术平方根的性质化简的步骤： ①将被开方数进行因数分解或因式分解； ②应用积的算术平方根的性质，将能开得尽方的因数或因式开出来． 6．二次根式的除法法则 （1）一般地，二次根式的除法法则是： ． 语言叙述：二次根式相除，把被开方数__________，根指数不变． 【注意】①a≥0，b>0时，式子才成立，若a，b都是负数，虽然 有意义，但 在实数范围内无意义；若b=0， 则号无意义．学-科网 ②如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数． ③二次根式的运算结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式． （2）二次根式除法法则的逆用 ★语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根． 公式中的a，b表示的代数式必频满足a≥0，b>0，a≥0，b>0是限制公式右边的，对公式的左边，只要 且 即可． 利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为“（a≥0，b>0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可． 7．最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． （1）被开方数不含__________； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． 【拓展】分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化． 分母有理化的方法是根据分式的基