新课衔接站03 17.1 勾股定理 知识精讲-2020-2021学年八年级数学寒假学习精编讲义（人教版）

2020-2021学年人教版八年级数学寒假学习精编讲义 新课衔接站03 17.1 勾股定理 1．勾股定理 勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的__________等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2． 【注意】（1）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是__________；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2． （2）如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解 2．勾股定理的证明 在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理． 对于勾股定理的证明，现在世界上已找出很多种运用图形的割、移、补、拼构造特殊图形，并根据面积之间的关系进行推导的方法，著名的证法有赵爽“勾股圆方图”（“赵爽弦图”）、刘徽（“青朱出入图”）、加菲尔德总统拼图、毕达哥拉斯拼图等． 3．勾股定理的应用 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系．利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题．其主要应用如下： （1）已知直角三角形的任意两边求第三边； （2）已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； （3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题； （4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题． 勾股定理 已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先明确所求边是斜边还是直角边，再决定用勾股定理的原式还是变式． 考点1：勾股定理 【例1】（2020春•吴忠期末）在 中， ， ， ，则 的长是 　　 A．1 B． C．2 D． 【解答】解：在 中， ， ， ， ， 故选： ． 【变式1-1】（2020秋•双流区校级期中）如图， 中， ， ， ，则 的长度为 　　 A．2 B． C． D．5 【变式1-2】（2020秋•和平区校级月考）如图，四边形 中， ，已知 ， ， ， ，求四边形 的面积． 【变式1-3】（2020秋•沙坪坝区校级月考）如图所示，在 中， ，分别以 、 、 为边向外作正方形，面积分别为225、400、 ，则 为 　　 A．175 B．600 C．25 D．625 【变式1-4】（2020秋•皇姑区期末）等腰 中， ， ，以 为边作等边 ，则点 到 的距离为　　 ． 【变式1-5】（2020秋•兴化市月考）如图， 中， ， ， ，若点 从点 出发，以每秒 的速度由 向 运动，设运动时间为 秒 ．在运动过程中，当 为　　 时， 为等腰三角形． 【变式1-6】（2020秋•浦东新区月考）如果 ， ， ， ． ， ，则 　 　． 【变式1-7】（2020秋•新城区校级月考）如图，在 中， ， ， ，求 的面积． 勾股定理的证明 勾股定理的证明是通过拼图法或割补法完成的，探索时利用面积关系，将“形”的问题转化为“数”的问题． 考点2：勾股定理的证明 【例2】（2020秋•即墨区校级期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为 ，较短直角边长为 ．若 ，大正方形的面积为16，则小正方形的边长为　　． 【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为 ， 每一个直角三角形的面积为： ， ， ， ． 故答案为： ． 【变式2-1】（2017春•城区校级期中）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的， ， ， ，点 ， ， ， ， ， 都是矩形 的边上，则矩形 的面积为 　　 A．360 B．400 C．440 D．484 【变式2-2】（2020秋•温州期中）如图1是我国古代著名的“赵爽 弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边 ，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若 的周长是15，则这个风车的外围周长是　 　． 【变式2-3】（2018秋•滕州市期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为 ，较短直角边长为 ，若 ，大正方形的面积为13，则小正方形的边长为 　　 A． B．2 C． D． 【变式2-