专题10 二次根式（知识点串讲）-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型

专题10 二次根式 【思维导图】 【知识要点】 知识点一 二次根式的有关概念和性质 二次根式概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。 【注意】 1.二次根式，被开方数a可以是一个具体的数，也可以是代数式。 2.二次根式是一个非负数。 3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（𝑎≥0）就表示a的算术平方根。 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 二次根式的性质： 1．含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。 2．结果的取值范围相同，两者的结果都是非负数。 3．当a≧0时， 知识点二 二次根式的运算 二次根式的乘法法则: 【注意】 1、要注意这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立。 : 3、乘法交换律在二次根式中仍然适用。 二次根式的乘法法则变形（积的算术平方根）： 化简二次根式的步骤（易错点）： 1.把被开方数分解因式(或因数) ； 2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积； 3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式(√𝑎)^2=𝑎（𝑎≥0）把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简。 二次根式的除法法则： 【注意】 1、要注意这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。 2、在实际解题时，若不考虑a、b的正负性，直接得是错误的。 二次根式的除法法则变形（商的算术平方根）： 二次根式的特点： 1.被开方数不含分母，例： ； 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，例： 。 【二次根式运算中的注意事项】 一般将最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。 二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。 二次根式比较大小： 1、若，则有； 2、若，则有． 3、将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小。 二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减。 注意：运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。 【考查题型】 考查题型一 二次根式有意义的条件 【解题思路】次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 典例1．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）函数 的自变量 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，从而可得答案． 【详解】解：由题意得： 故选： 变式1-1．（2020·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）二次根式中，x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围． 【详解】解：根据题意得3+x≥0，解得：x≥﹣3， 故x的取值范围在数轴上表示正确的是．故选：D． 变式1-2．（2020·山东菏泽市·中考真题）函数 的自变量 的取值范围是（ ） A． B． 且 C． D． 且 【答案】D 【分析】由分式与二次根式有意义的条件得函数自变量的取值范围． 【详解】解：由题意得： 解得： 且 故选D． 考查题型二 利用二次根式的性质化简 【解题思路】算术平方根为非负数 典例2．（2020·四川攀枝花市·中考真题）实数 、 在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是（ ）． A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据实数a和b在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案． 【详解】解：由数轴可知-2＜a＜-1，1＜b＜2， ∴a+1＜0，b-1＞0，a-b＜0， ∴ = = =-2故选A. 变式2-1．（2016·山东潍坊市·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是( ) A．﹣2a-b B．2a﹣b C．﹣b D．b 【答案】A 【详解】由图可知： ， ∴ ， ∴ . 故选A. 变式2-2．（2018·浙江杭州市·中考真题） 化简的结果是（） A．－2 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】先将括号内的数化简，再开根号，根据开方的结果为正数可得出答案． 【详解】 = =2， 故选：B． 变式2-3．（2015·四川绵阳市·中考真题）若，则（ ） A．-1 B．1 C．52015 D．-52015 【答案】A 【解析】 由可得，解得，所以，故答案选A. 考查题型三 二次根式的乘除运算 【解题思路】考查二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键 典例3．（2020·山东聊城市·中考真题）计算 的结果正确的是（