2.3.1 向量的数乘运算(冲关演练案)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第二册(北师大版)

第二章　2.3　2.3.1 1．(多选题)下列各式中表示向量的是(　　) A．0·a　　　　 B．a＋3b C．|3a|　 D．e(x，y∈R，且x≠y) ABD　[向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量．] 2．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，，则λ＝________.＝λ＋ 2　[∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O， ∴.∴λ＝2.]＝2＝＋ 3．若，则λ＝________.＝λ，＝2 －3　[∵，∴λ＝－3.]＝－3＝3＋＝2＋＝ 4．已知a与b，且5x＋2y＝a,3x－y＝b，求x，y. 解　联立方程组解得 1．设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是(　　) A．a与λa的方向相同 B．a与－λa的方向相反 C．a与λ2a的方向相同 D．|λa|＝λ|a| C　[只有当λ>0时，才有a与λa的方向相同，a与－λa的方向相反，且|λa|＝λ|a|.因为λ2>0，所以a与λ2a的方向相同．] 2．已知a＝5e，b＝－3e，c＝4e，则2a－3b＋c＝(　　) A．5e　　　　　　 B．－5e C．23e D．－23e C　[2a－3b＋c＝2×5e－3×(－3e)＋4e＝23e.] 3．(多选题)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为(　　) A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na，则m＝n AB　[A和B属于数乘对向量与实数的分配律，正确；C中，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；D中，若a＝0，则m，n没有关系，错误．] 4．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则等于(　　) ＋ A．　 B． C．　 D． C　[如图，.]＝×2)＝＋(＝＋＝＋＋＋＝＋ 5.3(2a－4b)等于(　　 ) A．5a＋7b B．5a－7b C．6a＋12b D．6a－12b D　[利用向量数乘的运算律，可得3(2a－4b)＝6a－12b.] 6．(多空题)已知x，y是实数，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________. 　[由已知得　 解得] 7．在▱ABCD中，＝________.(用a，b表示) ，M为BC的中点，则＝3＝b，＝a， a　[如图，b－ b－a＋＝－＋＋＝ ＝－a.]b－(a＋b)＝b－a＋ 8．计算： (1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)； (2)； － (3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)． 解　(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b. (2)原式＝－ ＝－ ＝b＝0.a－b－a＋ (3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c ＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c) ＝6a＋2b. 9．已知任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．求证：)． ＋(＝ 证明　取以点A为起点的向量，应用三角形法则证明，如图． ∵E为AD的中点，∴.＝ ∵F是BC的中点，∴)． ＋(＝ 又∵，＋＝ ∴.)＋＋()＝＋＋(＝ ∴－)＋＋(＝－＝ ＝)．＋( 10．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于(　　) A． B．－ C．－　 D． C　[∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|.又a与b反向，∴λ＝－.] 11．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝(　　) ＝b，则＝a， A．ba＋b　 B．a＋ C．ba＋b　 D．a＋ D　[∵△DEF∽△BEA，∴.＝＝ ∴DF＝.＋＝＋＝AB．∴ ∵＝b，－＝＝a，＋＝ 联立得(a＋b)，＝(a－b)，＝ ∴b.]a＋(a－b)＝(a＋b)＋＝ 12．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若，则λ的值为________． ＋λ＝，＝2 ) －(＋＝＋＝＋＝　[ ＝.]＋ 13．如图，在△ABC中，，求实数m的值．＋＝m，P是BN上的一点，若＝ 解　∵，＋＝m＋＝＋＝ ∴.－＝m 又，－)＝－＋(＝＋＝ 设.－＝mλ－ (0≤λ≤1)，则λ＝λ ∴m＝λ＝. $$