2.3.2 向量的数乘与向量共线的关系(冲关演练案)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第二册(北师大版)

第二章　2.3　2.3.2 1．在△ABC中，M是BC的中点，则等于(　　) ＋ A．　　　　 B． C．2　 D． C　[如图，作出平行四边形ABEC，M是对角线的交点，则M是BC的中点，且是AE的中点．由题意知.]＝2＝＋ 2．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 ，k∈R与向量n＝e2－2e1共线，则(　　) A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝ D　[当k＝e2，时，m＝－e1＋ n＝－2e1＋e2. 所以n＝2m，此时，m，n共线．] 3．已知＝3(a－b)，则(　　) ＝－2a＋8b，＝a＋5b， A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 B　[，＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝＋＝ ∵有公共点B，∴A，B，D三点共线．]与 4．如图，已知.表示，，用＝ 解　) －(＋＝＋＝＋＝ ＝－.＋ 1．已知P，A，B，C是平面内四点，且，则下列向量一定共线的是(　　) ＝＋＋ A．与　　　　 B．与 C．与　 D．与 B　[因为，＝＋＋ 所以.＝＝0，即－2＋＋＋ 所以共线．]与 2．如图，在△ABC中，等于(　　) ，则＝2，＝3＝b，＝a， A．－ba－b　 B．a＋ C．ba＋b D．－a＋ D　[＋＝＋＝ ＝＋＝－)－－( ＝－b.]a＋ 3．已知a，b是不共线的向量，＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三点共线，则实数λ的值为(　　) ＝λa＋2b， A．－1 B．2 C．－2或1 D．－1或2 D　[因为A，B，C三点共线，所以存在实数k使.＝k 因为＝a＋(λ－1)b，＝λa＋2b， 所以λa＋2b＝k[a＋(λ－1)b]． 因为a与b不共线，所以 解得λ＝2或λ＝－1.] 4．在△ABC中，点P是AB上一点，且，则t的值为(　　) ＝t，又＋＝ A．　 B． C．　 D． A　[由题意可得.]，∴t＝＝t.又)＝－(＝－＋＝－＝ 5．已知e1，e2是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的有(　　) ①a＝5e1，b＝7e1；②a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2. A．① B．② C．①② D．全不共线 A　[①中，a与b显然共线；②中，设b＝3e1－3e2＝k(e1＋e2)，得无解，故a与b不共线．] 6．设向量a，b不平行，若向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________. ]解得　[∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0.又向量λa＋b与a＋2b平行，故存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μ a＋2μb.则 7．如图，已知两个非零向量a，b，分别作＝a＋3b.试判断A，B，C三点之间的位置关系，并说明理由．＝a＋2b，＝a＋b， 解　分别作向量，过点A，C作直线AC(如图)．，， 观察发现，不论向量a，b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A，B，C三点共线． 因为＝(a＋2b)－(a＋b)＝b，－＝ ＝(a＋3b)－(a＋b)＝2b，－＝ 故有.＝2 因为，且有公共点A，∥ 所以A，B，C三点共线． 8．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，等于(　　)＝b，则＝a， A．a－a－bb　 B． C．a＋a＋bb　 D． D　[连接CD，OD，如图所示． ∵点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点， ∴AC＝CD， ∠CAD＝∠DAB＝×90°＝30°. ∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO＝30°. 由此可得∠CAD＝∠ADO＝30°. ∴AC∥DO. 由AC＝CD，得∠CDA＝∠CAD＝30°. ∴∠CDA＝∠DAO. ∴CD∥AO. ∴四边形ACDO为平行四边形． ∴a＋b.]＝＋＝＋＝ 9．已知a，b不共线，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p＝____________.＝a＋b，＝2a＋pb， －1　[∵＝a－2b，＝a＋b， ∴＝2a－b.＋＝ 又∵A，B，D三点共线，∴共线． ， 设，＝λ ∴2a＋pb＝λ(2a－b)． ∴2＝2λ，p＝－λ.∴λ＝1，p＝－1.] 10．如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若，则t＝λ－μ的最大值是________． ＋μ＝λ 3　[设，0≤k≤1，＝k 则.－k)]＝2k－＋2()＝k[＋2＝k( ∵不共线，与，且＋μ＝λ ∴∴t＝λ－μ＝3k. 又0≤k≤1，∴当k＝1时，t取最大值3. 故t＝λ－μ的最大值为3.] 11．如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD． 求证：M，N，C三点共线. 证明　设＝b，由向量减法的三角形法则可知＝a， a－b.＝－＝－＝ 又∵N在BD上，且BD＝3BN， ∴(a＋b)． )＝＋(＝＝ ∴(a＋b