考点10 平面向量线性运算-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

考点10 平面向量的线性运算 知识理解 一．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．（没有方向上的规定） (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行或共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量 (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量 二．向量的线性运算 （一）加法：求两个向量和的运算 1.三角形法则：首尾连，连首尾 2.平行四边形法则：起点相同连对角 3.运算律 交换律：＋＝＋ 结合律：(＋)＋＝＋(＋) （2） 减法 1.三角形法则：共起点，连终点，指向被减 2.平行四边形法则：共起点，连终点，指向被减 （三）数乘：求实数λ与向量的积的运算 1.数乘意义：|λ |＝|λ|||，当λ>0时，λ与的方向相同； 当λ<0时，λ与的方向相反； 当λ＝0时，λ＝0 2.运算律 （1）λ(μ)＝(λμ) （2）(λ＋μ)＝λ＋μ （3）λ(＋)＝λ＋λ 3．向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得＝λ. 4．平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝λ1＋λ2.其中，不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 考向一 概念的辨析考向分析 【例1】（2020·全国高三专题练习）下列关于向量的叙述不正确的是（ ） A．向量的相反向量是 B．模为1的向量是单位向量，其方向是任意的 C．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且AB＝CD，则＝ D．若向量与满足关系，则与共线 【答案】C 【解析】A选项中，向量的相反向量是，故正确； B选项中，模为1的向量是单位向量，其方向是任意的，故正确； C选项中，若A，B，C，D四点在同一条直线上，且AB＝CD，则与方向可能相同或相反，故不正确，； D选项中，若向量与满足关系，则与共线，正确.故选：C. 【方法总结】 (1)向量定义的关键是方向和长度． (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度． (5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线 【举一反三】 1．（2020·全国高三专题练习（文））给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． ③若 (λ为实数)，则λ必为零． ④λ，μ为实数，若，则共线． 其中错误的命题的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点． ②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小． ③错误，当时，不论λ为何值，. ④错误，当λ=μ=0时，，此时，与可以是任意向量．故选C． 2．（2020·全国高三专题练习）给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量. ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小. ③（为实数），则必为零. ④为实数，若，则与共线. 其中正确的命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】因为两个向量终点相同，起点若不在一条直线上，则也不共线，命题错误；由于两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小，因此命题是正确的；若（为实数），则也可以零，因此命题也是错误的；若为0，尽管有，则与也不一定共线，即命题也是错误的，应选答案A． 3．（2020·全国高三专题练习）下列命题中正确的是( ) A．若，则 B．若，则 C．若，则与可能共线 D．若，则一定不与共线 【答案】C 【解析】因为向量既有大小又有方向，所以只有方向相同､大小(长度)相等的两个向量才相等，因此A错误； 两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误；无论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，故C正确，D错误.故选：C 考向二 线性运算 【例2-1】（2020·山西高三期中）如图，中，E是AB的中点，点F满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故选：A 【例2-2】（2020·武威第六中学高三月考）在中，为的重心，若，则＝______． 【答案】 【解析】如图所示，因为为的重心，则点为的中点， 根据向量的线性运算和三角形重心的性质， 可得： ， 又因为，所以， 所以. 故答案为：. 【举一反三】 1．（2020·河南高三月考）如图，在梯形中，，，为线段的中点，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，根据