考点15 递推公式求通项-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

考点15 递推公式求通项 知识理解 1． 公式法求通项 1. 使用特征：前n项和与项数或项的关系 2. 公式为：通项=前n项和-前n-1项和 3. 解题思路 2． 累加法求通项 1.使用特征： 2.解题思路 3． 累乘法求通项 1.使用特征： 2.解题思路 4． 构造法求通项 5． 倒数法求通项 考向一 公式法求通项考向分析 【例1】（1）（2020·广西民族高中）数列的前n项和，则它的通项公式是__________. （2）（2020·广东深圳市·明德学校高三月考）设是数列的前n项和，且，则的通项公式为__________． (3)（2020·榆林市第十中学高三月考）已知数列满足，则________，________． 【答案】（1）（2）(3)3 【解析】（1）时，； 且时，，易见，也适合该式.故.故答案为：. （2）当时， 当时，，∴，∴， ∵，∴，∴．故答案为：. (3）当时，， 当时，由题意可得： ， ， 两式作差可得：， 故， 因为，不满足，所以. 故答案为：3；. 【方法总结】 数列的前n项和，当已知求时，按照两者关系，由计算，当也适合通项公式时，合并作答，否则写出分段形式. 【举一反三】 1．（2020·西藏昌都市第一高级中学）已知数列的前项和，则＝________. 【答案】 【解析】由于数列的前项和. 当时，； 当时，. 满足.因此，对任意的，.故答案为：. 2．（2020·全国高三专题练习）数列的前项和为，则_________________. 【答案】 【解析】当时，; 而不适合上式，.故答案为：. 3．（2020·河北保定市·高碑店一中）已知数列的前项和为，，，则______. 【答案】 【解析】因为，故，故即. 又，故当时，， 故.故答案为：. 4．（2020·全国高三专题练习）若数列的前项和，则的通项公式是________． 【答案】 【解析】当时，，， 当时，，， ∴，是首项为，公比为的等比数列，．故答案为： 5．（2020·安徽省舒城中学）若数列是正项数列，且，则_______． 【答案】 【解析】数列是正项数列，且所以，即 时 两式相减得， 所以（ ）当时，适合上式，所以 考向二 累加法求通项 【例2】（2020·成都市·四川电子科大实验中学）设数列满足，，则数列的通项公式为 【答案】 【解析】，所以当时，，，，， 将上式累加得：， ，即， 又时，也适合，． 【举一反三】 1．（2020·全国高三专题练习）已知数列满足：，，则 【答案】 【解析】∵数列满足：，，∴， ∴当n≥2时，an＝a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+an﹣an﹣1＝ =， 2．（2020·全国高三专题练习）已知在数列的前项之和为，若，则_______． 【答案】 【解析】 . . 3．（2020·通榆县第一中学校高三期中）已知数列满足，，则 。 【答案】 【解析】由，可得， 所以 ， 考向三 累乘法求通项 【例3】（2020·江西九江市）设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an，则an＝________. 【答案】 【解析】∵an＋1＝an，a1＝2，∴an≠0，∴. ∴当n≥2时，an＝，a1＝2也符合上式，则an＝. 故答案为：. 【举一反三】 1．（2020·苏州市相城区陆慕高级中学）已知在数列中，，则= 【答案】 【解析】，即， ， 2．（2020·安徽省泗县第一中学）已知，，则数列的通项公式是 【答案】 【解析】由得：，即， 则，，，……..，， 由累乘法可得，又因为，所以. 考向四 构造法求通项 【例4】（2020·全国高三专题练习）若，，则_______________. 【答案】 【解析】原式可化为（）， 因为，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即.故答案为：. 【举一反三】 1．（2020·静宁县第一中学高三月考）已知数列中，，（且），则数列通项公式为 【答案】 【解析】由，知：且()，而，， ∴是首项、公比都为3的等比数列，即， 2．（2021·怀仁市第一中学校）已知数列满足，则数列的通项公式为___________. 【答案】 【解析】因为，所以，所以， 所以数列是一个以为首项，以2为公比的等比数列， 所以.所以数列的通项公式为.故答案为： 3．（2020·广东清远市·高三月考）若数列满足，，则数列的通项公式________. 【答案】 【解析】由，可得，设 则，则 所以是以1为首项，3为公比的等比数列. 则，则，所以 故答案为： 考向五 倒数法求通项 【例5】（2020·四川省阆中东风中学校高三月考）已知数列满足：，．则 【答案】 【解析】因