考点14 等比数列-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

考点14 等比数列 知识理解 一．等比数列的有关概念 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q. 二．等比数列的有关公式 1.通项公式：an＝a1qn－1an＝am·qn－m. 　　　　　　 2.前n项和公式： 3． 等比数列的性质 1.等比中项 （1）如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项 ⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. （2）若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a. 2.前n项和的性质 （2） {an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列 （3）当q≠0，q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时k＝. 考向一 等比数列基本运算考向分析 【例1】（1）（2020·重庆九龙坡区·渝西中学高三月考）设等比数列{an}的前n项和是Sn，a2＝﹣2，a5＝﹣16，则S6＝ （2）（2021·全国高三专题练习）等比数列中，．记为的前项和.若，=________． （3）（2020·江西高三其他模拟）已知数列是正项等比数列，且，又，，成等差数列，则的通项公式为 【答案】（1）﹣63（2）6（3） 【解析】（1）设公比为，则，即，解得，所以， 所以，故选:A. （2）设的公比，由可得， 当时，所以，即，此时方程没有正整数解； 当时，所以，即，解得.故答案为：6. A． B． C． D． （3）由题意，设数列的公比为， 因为，所以，解得（负值舍去）； 又，，成等差数列， 所以，即， 则，解得， . 【方法总结】 （1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解． (2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝. 【举一反三】 1．（2020·济南旅游学校）设等比数列满足，，则公比______． 【答案】 【解析】由于数列是等比数列，故由，可得， ，两式作比可得：，解得，即.故答案为： 2．（2020·河南高三月考）已知等比数列满足且，则________. 【答案】 【解析】因为，所以.故由等比数列的通项公式得.故答案为： 3．（2020·河南高三其他模拟）已知在等比数列中，，，则数列的通项公式为_______. 【答案】或 【解析】设等比数列的公比为q，因为，所以，解得， 所以，解得或. 当时， ，所以， 即有； 当时， ，所以， 即有． 故答案为：或. 4．（2020·上海市三林中学高三期中）数列中，数列前项和为，若，，则________. 【答案】1023 【解析】因为，，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以.故答案为：. 考向二 等比数列中项性质 【例2】（1）（2020·浙江高三开学考试）已知等比数列，，，则（ ） A． B． C． D．1 （2）（2020·防城港市防城中学高三月考）等比数列中，，，则与的等比中项是（ ） A． B．4 C． D． （3）（2020·广西高三其他模拟）已知各项不为0的等差数列{an}满足，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b2b8b11等于（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】（1）D（2）A（3）D 【解析】（1）由题意得：，由，得，故， 故选：D. （2）∵，，∴.又.∴与的等比中项是. 故选：A. （3）因为{an}是各项不为0的等差数列，由可得：．解得，所以，所以，关系存在D 【举一反三】 1．（2020·广西北海市·高三一模）若数列是等比数列，且，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】因为数列是等比数列，由，得，所以，因此. 故选：C. 2．（2020·河南郑州市·高三月考）正项等比数列满足，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】根据题意，等比数列满足，则有，即， 又由数列为正项等比数列，故．故选：C． 3．（2020·河南高三期中）公差不为0的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【解析】等差数列中,,故原式等价于解得或 各项不为0的等差数列,故得到，数列是等比数列，故=16.故选：D. 4．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三期中）等比数列的各项均为正数，且.则（ ） A．3 B．505 C．1010 D．2020 【答案