考点13 等差数列-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

考点13 等差数列 知识理解 一．等差数列的有关概念 1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数 2.数列的单调性：d>0递增数列，d=0常数数列，d<0递减数列 二．等差数列的有关公式 1.通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数． 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． 2.前n项和公式： 当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且没有常数项． 3． 等差数列的性质 1.中项性质 （1）数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项 （2）多项数列的中项性质 2.前n项和的性质 （1）Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d （2）若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的. 考向一 等差数列基本运算考向分析 【例1】（1）（2020·广东广州市·高三月考）设是公差为正数的等差数列，若，，则（ ） A．12 B．35 C．75 D．90 （2）（2020·宁夏银川九中高三月考）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝4，S9＝72，则a10＝（ ） A．20 B．23 C．24 D．28 【答案】（1）B（2）D 【解析】（1）设公差为，则，∵，故解得， ∴．故选：B． （2）设等差数列{an}的公差为d,由a4＝4，S9＝72，得, 解得,,故选：D. 【举一反三】 1．（2020·四川省广元市川师大万达中学高三月考）等差数列中，若，，则（ ） A． B． C．2 D．9 【答案】A 【解析】设公差为，则，所以.故选：A 2．（2020·冷水江市第一中学高三期中）记为等差数列的前项和，若，，则等于（ ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【解析】设数列的首项为，公差为，则由，，得：，即， 解得：，.故选：D. 3．（2020·广西玉林市·高三其他模拟）若等差数列{an}满足a2=20，a5=8，则a1=（ ） A．24 B．23 C．17 D．16 【答案】A 【解析】根据题意，，则，故选：A. 4．（2020·梅河口市第五中学高三月考）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，若，则（ ） A．3 B． C．-3 D． 【答案】D 【解析】设数列是公差为，，首项为，因为 所以，所以，所以 所以故选：D 考向二 等差数列中项性质 【例2】（1）（2020·全国高三其他模拟）1，3的等差中项是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 （2）（2020·福建高三学业考试）在等差数列中，若=4，=2，则=（ ） A．-1 B．0 C．1 D．6 （3）（2020·贵州贵阳一中高三月考）已知等差数列的前n项和为，=5，则=（ ） A．5 B．25 C．35 D．50 【答案】（1）B（2）B（3）B 【解析】设1和3的等差中项为，则，解得，故选：B. （2）等差数列中，，则故选：B （3）由题意可知，为等差数列，所以故选：B 【举一反三】 1．（2020·上海市七宝中学高三期中）已知数列为等差数列，且，则_________. 【答案】-12 【解析】由等差数列的性质，得.故答案为：. 2．（2020·贵溪市实验中学高三月考）在等差数列中，若，则______. 【答案】 【解析】由等差中项的性质可得，可得， 因此，.故答案为：. 3．（2020·天津经济技术开发区第一中学高三期中）设等差数列的前项之和为，已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，.故选：B. 4．（2020·静宁县第一中学高三月考）已知正项等差数列的前项和为，，则的值为（ ） A．11 B．12 C．20 D．22 【答案】D 【解析】因为，数列是正项等差数列，所以，解得或（舍去）， 则，故选：D. 5．（2020·全国高三专题练习）已知数列满足且，则（ ） A．-3 B．3 C． D． 【答案】B 【解析】,∴数列是以2为公差的等差数列， ， ，，，故选：B. 考向三 等差数列前n项和性质 【例3】（1）（2020·广东高三月考）已知等差数列的前n项为，，，则的值为（ ） A．2 B．0 C．3 D．4 （2）．（2020·石嘴山市第三中学高三期中）两等差数列，的前n项和分别为，，若，则（ ） A． B． C． D． （3）（2021·天津红桥区·高三期末）设是等差数列的前项和，若，则（ ） A． B． C． D． （4）．（2021·海南省）已