考点12 基本不等式-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

考点12 基本不等式 知识理解 1． 基本不等式公式 2． 几个重要结论 (1)≥2 (2)＋≥2(ab>0)． (3)≤≤ (a>0，b>0) 三．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大) 考向一 公式的直接运用考向分析 【例1（2020·辽宁高三期中）已知，那么的最小值是（ ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【解析】根据题意，，则，当且仅当时等号成立，即的最小值是4； 故选：C. 【方法总结】 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 【举一反三】 1．（2020·河北高三月考）已知正数，满足，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】因为.当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为12，故答案为：12 2．(必修5P99例1(2)改编)若x>0，y>0，且x＋y＝18，则的最大值为 。 【答案】9 【解析】因为x＋y＝18，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立． 3．(必修5P100练习T1改编)设a>0，则9a＋的最小值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】6 【解析】因为a>0，所以9a＋≥2 ＝6，当且仅当9a＝，即a＝时，9a＋取得最小值6. 考向二 配凑型 【例2】（1）（2020·全国高三专题练习）当时，则的最大值为（ ） A． B． C． D． （2）（2020·全国高三专题练习）函数的最小值是（ ） A． B． C． D． （3）（2020·四川省阆中东风中学校高三月考）若正数a，b满足，，且，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C．9 D．16 (4)（2021·全国高三专题练习）已知f(x)＝，则f(x)在上的最小值为（ ） A． B． C．－1 D．0 【答案】（1）D（2）D（3）C(4)D 【解析】（1）∵，，， 当，即时等号成立，∴，即最大值为，故选：D. （2） 因为，所以，当且仅当，即时等号成立.所以函数的最小值是.故选：D. (3)由，可得，， 所以 当且仅当，即时等号成立.故选：C (4)f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号． 又1∈，所以f(x)在上的最小值是0.故选：D 【方法总结】 1. 一般两个因式相加时，两个因式未知数部分（不含系数）成为倒数关系 2. 一般两个因式相乘时，两个因式因式部分成相反数（含系数）关系 【举一反三】 1．（2020·全国高三专题练习）设，则函数的最大值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】，， ，当且仅当，即时，等号成立，即函数的最大值为.故选：D 2．（2020·全国高三专题练习）已知，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 若，则，时等号成立； 若，则，时等号成立 ∴的取值范围为，故选：A. 3．若，则取最大值时的值是 。 【答案】 【解析】 ，，由基本不等式得， 当且仅当，即，时取等号， 取最大值时的值是． 4．若，都是正数，且，则的最大值为 。 【答案】4 【解析】由题意，可知： ，当且仅当即时取等号； 考向三 条件型 【例3】（1）（2020·全国高三专题练习）已知，，且，则的最小值为（ ）． A． B． C． D． （2）（2020·全国高三专题练习）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是( ) A． B． C．5 D．6 【答案】（1）B（2）C 【解析】（1）∵，，且， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值为.故选：B． （2）由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C． 【方法总结】 问题与条件一个为整式，一个为分式，整式未知数部分配成分式分母相同 【举一反三】 1．（2020·东莞市东华高级中学高三月考）已知，则的最小值是（ ） A． B．4 C． D．3 【答案】D 【解析】因为，，， 所以， 当且仅当，即，时取等号.故选：D 2．（2020·河北沧州市·高三期中）若，，则的最小值为（ ） A．2 B．6 C．9 D．3 【答案】D 【解析】因为，，所以 ．当且仅当，即，时取等号.故选：D.