【新教材】7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 学案-吉林省长春市第八中学高中数学人教A版（2019版）必修第二册

 

7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

【新知初探】

要点一　复数三角形式的乘法

设z1，z2的三角形式分别是：z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，

则z1z2＝                           ＝                               ，

这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．

几何意义：两个复数z1，z2相乘，可以先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按                                (如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为                                     倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.

特征：旋转＋伸缩变换．

要点二　复数三角形式的除法

设z1，z2的三角形式分别是：

z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，

则＝＝                      (z2≠0)，

这就是说，两个复数相除，商的模等于                            ，商的辐角等于                                     ．

 

几何意义：两个复数z1，z2相除，可以先画出z1，z2对应的向量，，将向量按顺时针方向旋转θ2(若θ2<0，则按逆时针方向旋转|θ2|)，再把模变为原来的倍，所得向量就表示商.

复数除法实质也是向量的                           ．

【基础自测】

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在复数范围内，1的立方根是1.(　　)

(2)z＝|z|2.(　　)

(3)2·3＝6i.(　　)

2．做一做

(1)把z＝2－i对应的向量，按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数的代数形式为________．

(2)(1＋i)2019＝________.

(3)÷＝________.

【题型通关】

题型一  复数三角形式的乘法运算

例1　计算下列各式：(1)·；

(2)3cos·7；(3)－4.

 

 

 

 

 

 

 

 

跟踪训练1  (1)如果向量对应复数4i，逆时针旋转45°后再把模变为原来的倍，得到向量，那么与对应的复数是________；

(2)计算(1＋i)6.

 

 

 

 

 

题型二  复数三角形式的除法运算

例2　计算(1＋i)÷.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

跟踪训练2 计算：(1)[6(cos70°＋isin70°)]÷[3(cos40°＋isin40°)]；

(2)÷.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

题型三　　复数乘、除运算几何意义的应用　　　　　

例3　如图所示，已知平面内并列八个全等的正方形，利用复数证明：∠1＋∠2 

＋∠3＋∠4＝.