练习13 向量减法与数乘运算-2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高一数学（苏教版）

练习13 向量减法与数乘运算 一、单选题 1．在矩形ABCD中， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．设 是非零向量， 是非零常数，下列结论中正确的为（ ） A． 与 的方向相反 B． 与 的方向相同 C． D． 3．八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 ABCDEFGH，其中 ，则给出下列结论： ① ；② ；③ ． 其中正确的结论为（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．已知 ，点 为边 上一点，且满足 ，则向量 （ ） A． B． C． D． 二、多选题 5．已知正方体 的中心为 ，则下列结论中正确的有（ ） A． 与 是一对相反向量 B． 与 是一对相反向量 C． 与 是一对相反向量 D． 与 是一对相反向量 6．已知向量 是同一平面 内的两个向量，则下列结论正确的是（ ） A．若存在实数 ，使得 ，则 与 共线 B．若 与 共线，则存在实数 ，使得 C．若 与 不共线，则对平面 内的任一向量 ，均存在实数 ，使得 D．若对平面 内的任一向量 ，均存在实数 ，使得 ，则 与 不共线 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题 7．化简： _________. 8．在 中， ，且 ，则 ______. 四、解答题 9．化简： （1） ； （2） ； （3） ． 10．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线． (1)设 ，将 用 ， ， 表示； (2)设 ， ，证明： 是定值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 练习13 向量减法与数乘运算 一、单选题 1．在矩形ABCD中， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由平面向量的线性运算可得 ，再由平面向量数量积的运算法则计算即可得解. 【详解】 由题意作出图形，如下图， 所以 . 故选：C. 2．设 是非零向量， 是非零常数，下列结论中正确的为（ ） A． 与 的方向相反 B． 与 的方向相同 C． D． 【答案】B 【分析】 根据向量的概念以及向量的数乘运算的定义逐个判断即可得解. 【详解】 对于A，若 即 ，则 与 的方向相同，故A错误； 对于B，因为 ，所以 与 的方向相同，故B正确； 对于C，因为 ，若 ，则 ，故C错误； 对于D， 表示长度， 表示向量，两者不相等，故D错误. 故选：B. 【点睛】 本题考查了向量的概念以及向量的数乘运算的定义，属于基础题. 3．八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 ABCDEFGH，其中 ，则给出下列结论： ① ；② ；③ ． 其中正确的结论为（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】 根据平面向量的线性运算逐项进行化简计算，由此确定出正确选项. 【详解】 对于①：因为 ，故①错误； 对于②：因为 ，则以 为邻边的平行四边形为正方形， 又因为 平分 ，所以 ，故②正确； 对于③：因为 ，且 ， 所以 ，故③正确， 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：解答本题的关键利用合适的转化对向量的减法运算进行化简，由此验证关于向量的等式是否正确. 4．已知 ，点 为边 上一点，且满足 ，则向量 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用向量的加法和减法运算法则即可求解. 【详解】 ， 故选：B 二、多选题 5．已知正方体 的中心为 ，则下列结论中正确的有（ ） A． 与 是一对相反向量 B． 与 是一对相反向量 C． 与 是一对相反向量 D． 与 是一对相反向量 【答案】ACD 【分析】 利用向量加法、减法的几何意义即可求解. 【详解】 ∵ 为正方体的中心，∴ ， ，故 ， 同理可得 ， 故 ，∴A、C正确； ∵ ， ， ∴ 与 是两个相等的向量，∴B不正确； ∵ ， ， ∴ ，∴D正确. 故选：ACD 【点睛】 本题考查了向量加法、减法运算、相反向量的概念，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 6．已知向量 是同一平面 内的两个向量，则下列结论正确的是（ ） A．若存在实数 ，使得 ，则 与 共线 B．若 与 共线，则存在实数 ，使得 C．若 与 不共线，则对平面 内的任一向量 ，均存在实数 ，使得 D．若对平面 内的任一向量 ，均存在实数 ，使得 ，则 与 不共线 【答案】ACD 【分析】 根据平面向量共线、平面向量的基本定理判断出正确选项. 【详解】 根据平面向量共线的知识可知A选项正确. 对于B选项，若 与 共线，可能 ，当 为非零向量时，不存在实数 ，使得 ，所以B选项错误. 根据平面向量的基本定理可知C、D选项