专题02 《不等式》-期末挑重点之2020-2021学年上学期高二数学(苏教版)

专题02 不等式 1、不等式的基本性质 ①（对称性） ②（传递性） ③（可加性） （同向可加性） （异向可减性） ④（可积性） ⑤（同向正数可乘性） （异向正数可除性） ⑥（平方法则） ⑦（开方法则） ⑧（倒数法则） 2、几个重要不等式 ①,（当且仅当时取号）. 变形公式： ②（基本不等式） ,（当且仅当时取到等号）. 变形公式： 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当时取到等号）. ④ （当且仅当时取到等号）. ⑤ （当且仅当时取到等号）. ⑥（当仅当a=b时取等号） （当仅当a=b时取等号） ⑦，（其中 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧ ⑨绝对值三角不等式 3、几个著名不等式 ①平均不等式：，，当且仅当时取号）. （即调和平均几何平均算术平均平方平均）. 变形公式： 4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法； 其它方法有：换元法、函数单调性法， 5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式 解集的步骤： 一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 6、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 （时同理） 规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 7、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法： ⑴当时, ⑵当时, 规律：根据指数函数的性质转化. 8、对数不等式的解法 ⑴当时, ⑵当时, 规律：根据对数函数的性质转化. 9、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法： ⑵平方法： ⑶同解变形法，其同解定理有： ① ② ③ ④ 规律：关键是去掉绝对值的符号. 10、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法： 规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. 11、含参数的不等式的解法 解形如且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论与0的大小； ⑵讨论与0的大小； ⑶讨论两根的大小. 12、恒成立问题 ⑴不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ①当时 ②当时 ⑵不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ①当时 ②当时 ⑶恒成立 恒成立 ⑷恒成立 恒成立 考点一、不等式的基本性质： 例1（2019上海.春）已知a、，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】解：等价于，得“”， “”是“”的充要条件， 故选：C． 根据平方和绝对值的关系，结合不等式的性质进行转化，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键． 考点二、基本不等式的证明： 例2（2020上海）下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属基础题． 利用恒成立，可直接得到成立，通过举反例可排除ACD． 【解答】 解：显然当，时，不等式不成立，故A错误； B．，，，故B正确，D错误； 显然当，时，不等式不成立，故C错误； 故选：B． 考点三、基本不等式的应用： 例3（2020广东月考）某商场对商品进行两次提价，现提出下面四种提价方案，提价幅度最大的一种是（ ） A. 先提价，后提价 B. 先提价，后提价 C. 两次均提价 D. 两次均提价 【答案】D 【解析】 【分析】 本题以商品提价为背景，考查了基本不等式的应用，属于中档题． 解题的关键逐一得到四种提价方案，两次提价的结果，再利用基本不等式比较大小即可． 【解答】 解：由题意不妨设商品原价为a， A，B选项两次提价后商品价格均为， C选项提价后商品价格为， D选项提价后商品价格为． ，， ， 提价幅度最大的为D选项． 故选D． 考点四、从函数观点看一元一次方程和一元二次不等式： 例4（2020全国.文）已知合集，，则  A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 本题主要考查集合的交集运算和解一元二次不等式，属于基础题． 解出集合A，利用交集即可求解． 【解答】 解：由不等式，解得， 所以， 故选D． 一、选择题 1. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】