甘肃省兰州市第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题（可编辑PDF版）

兰州一中2020-2021-1学期期末考试试题 高二数学(理)（参考答案及评分标准） 一．选择题(共12小题，每小题5分，共60分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C B B B B D A A A C 二．填空题(共4小题，每小题5分，共20分，) 13．　[4，+∞)； 14．(1)　y＝±x　、(2)　；15．4　、　；16．　2　． 三．解答题(共6小题，共70分) 17．(10分)【解答】解：（Ⅰ）因为 时，所以 ． 且向量 ， ， ． 因为向量 与 垂直， 所以 ． 即 ． 所以实数 和 的值分别为0和 ．.................5分 （Ⅱ）因为向量 与向量 ， 共面，所以设 ． 因为 ，2， ， ， ，1， ， 则： 解得 所以实数 的值为 ．.................10分 18．(10分)已知命题p：∀m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a+7≥m+2恒成立；命题q：方程tx2+ay2＝1表示焦点在x轴上的椭圆． (Ⅰ)若t＝1，(￢p)∨q为假命题，求a的取值范围； (Ⅱ)若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数t的取值范围． 解：∵命题p：∀m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a+7≥m+2恒成立， 即a2﹣5a+7≥3，解得：a≥4或a≤1，故p为真时，a∈(﹣∞，1]∪[4，+∞)； 方程tx2+ay2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，故q为真时，0＜t＜a； ………… 4分 (Ⅰ)t＝1时，q为真时：a＞1， ∵(￢p)∨q为假命题，∴￢p假且q假，即p真且q假， 则，即a∈(﹣∞，1]． ……………………………… 8分 (Ⅱ)若￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件， (t，+∞)⫋(﹣∞，1]∪[4，+∞)，∴t≥4； 故实数t的取值范围是：[4，+∞)． ……………………………… 12分 19．(12分)求下列曲线的标准方程． (1)求焦点在x轴上，焦距为2，过点的椭圆的标准方程； (2)求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线标准方程． 解：(1)由题意焦点在x轴上，焦距为2，过点的椭圆， 知c＝1，2a＝ ，解得a＝2， 所以b＝．故椭圆C的方程为+＝1． ……………………………… 6分 (2)双曲线双曲线的焦点为， 设双曲线的方程为，可得a2+b2＝3， 将点代入双曲线方程可得，，解得， 所求双曲线的方程为：． ……………………………… 12分 20．(12分)在平面直角坐标系xOy中有曲线Γ：x2+y2＝1(y＞0)． (1)如图1，点B为曲线Γ上的动点，点A(2，0)，求线段AB的中点的轨迹方程； (2)如图1，点B为曲线Γ上的动点，点A(2，0)，求三角形OAB的面积最大值，并求出对应B点的坐标； (3)如图2，点B为曲线Γ上的动点，点A(2，0)，将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC，求线段OC长度的最大值． 解：(1)设点B的坐标为(x0，y0)，则y0＞0，设线段AB的中点为点M(x，y)， 由于点B在曲线Γ上，则 x02+y02＝1，① 因为点M为线段AB的中点，则2x＝x0+2，2y＝y0，得 x0＝2x﹣2，y0＝2y， 代入①式得(2x﹣2)2+y2＝1，化简得(x﹣1)2+y2＝，其中y＞0； …………… 4分 (2)设B(x0，y0)，0＜y0≤1，三角形OAB的面积为•2y0＝y0，可得面积的最大值为1，且B(0，1)； ……………………………… 8分 (3)如下图所示，易知点D(2，2)， 结合图形可知，点C在右半圆D：(x﹣2)2+(y﹣2)2＝1上运动，问题转化为，原点O到右半圆D上一点C的距离的最大值， 连接OD并延长交右半圆D于点C'，当点C与点C'重合时，|OC|取最大值， 且|OC|max＝|OD|+1＝2+1． ……………………………… 12分 21．(12分)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2． (1)求证：A1C⊥平面BCDE； (2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小； (3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由． (1)证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D＝D， ∴DE⊥平面A1CD， 又∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE 又A1C⊥CD，CD∩DE