考点04 与圆有关的辅助线问题-2020-2021学年九年级数学下册高频考点专题突破（北师大版）

考点4.与圆有关的辅助线问题 知识框架 重难点题型题型1. 连半径，构建等腰三角形 解题技巧：在同圆或等圆中，圆的半径相等。此类题型，常常连接半径，构造等腰三角形或全等三角形。 1．（2020·上海黄浦初三二模）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC． （1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长． 2．（2020·全国初三课时练习）的圆心是原点，半径为5，点在上，如果点在第一象限内，那么______. 3.（2020•南召县初三）如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（　　） A．42° B．28° C．21° D．20° 4.（2020•天宁区初三期中）如图，两个正方形都在⊙O的直径MN的同侧，顶点B、C、G都在MN上，正方形ABCD的顶点A和正方形CEFG的顶点F都在⊙O上，点E在CD上．若AB＝5，FG＝3，则OC的长为　 　． 5．（2020·四川凉山初三零模）如图，已知在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM、OP上，并且∠POM＝45°，求正方形的边长． 题型2 遇见直径，构建直角三角形 【解题技巧】有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角解题 1．（2019·浙江杭州市·九年级期末）如图，是半圆的直径，是圆心，是半圆上一点，是弧的中点，交弦于，若，.（1）求的长度；（2）连接，求的长度. 2．（2020·北京西城区·北师大实验中学九年级期中）如图，若是的直径，是的弦，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 3．（2020·福州三牧中学九年级月考）如图，点D在半圆O上，，，点C在弧上移动，连接，H是上一点，，连接，点C在移动的过程中，的最小值是_______． 4．（2020·浙江杭州市·九年级模拟）如图，已知为⊙O的直径，是⊙O的切线，为切点，，则________；若，则________． 5．（2020·乌拉特前旗第四中学九年级期中）如图，⊙O的半径弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．已知，．（1）求⊙O半径的长；（2）求EC的长． 6．（2020·武汉市晴川初级中学九年级月考）如图，是的直径，弦、的延长交于点，于，连接、．（1）求证：．（2）连，若，求的半径． 7．（2020·温州市南浦实验中学九年级期末）如图，中，，以为直径作，交于点，交于点．（1）求证：．（2）若，求的度数． 题型3 添加弦心距，用垂径定理解决线段长 【解题技巧】圆中解决有关弦的问题时，常常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距）这一辅助线，一是利用垂径定理得到平分弦的条件，二是构造直角三角形，利用勾股定理解题. 1．（2020·南京师范大学附属中学树人学校九年级月考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1中，点表示简车的一个盛水桶，图2中，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度（的中点到弦的距离）为． （1）连接，求；（2）求半径． 2．（2020·青海中考真题）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，，，，则与之间的距离为________cm． 3．（2020·台州市白云学校九年级期中）如图，在⊙O中，圆心O在圆周角∠ABC的内部，若∠ABC=75°，AB=，⊙O的半径等于2，则BC=_____． 4．（2020·河南信阳市·九年级期中）如图，半圆O的半径为2，E是半圆上的一点，将E点对折到直径AB上(EE′⊥AB)，当被折的圆弧与直径AB至少有一个交点时，则折痕CD的长度取值范围是_________________． 5．（2020·江苏南通市·九年级期中）如图，的直径和弦相交于点，，的半径为，，求的长． 6．（2020·江苏镇江市·九年级月考）（操作思考）画⊙和⊙的直径、弦，使，垂足为（如图1）．猜想所画的图中有哪些相等的线段、相等的劣弧？（除外）． （1）猜想：① ；② ；③ ． 操作：将图1中的沿着直径翻折，因为圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴，所以与重合，又因为，所以射线与射线重合（如图2），于是点与点重合，从而证实猜想． （知识应用）图3是某品牌的香水瓶，从正面看上去（如图4），它可以近似看作割去两个弓形后余下的部分与矩形组合而成的图形（点在上），其中． （2）已知⊙的半径为，，，，求香水瓶的高度． 7．（2020·北京市三帆中学九年级期中）弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械字家莱洛首先进行研究的