考点03 正多边形与圆及圆的相关计算-2020-2021学年九年级数学下册高频考点专题突破（北师大版）

考点3.正多边形与圆及圆的相关计算 知识框架 基础知识点 知识点3-1 正多边形与圆的相关概念 1）正多边形：各边、各角都相等的多边形 注：正多边形必须同时满足2个条件：①每一条边都相等；②每一个角都相等 2）正多边形的中心：正多边形外接圆的圆心；正多边形的半径：正多边形外接圆的半径 正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离 正多边形的中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角 3）正多边形都是轴对称图形，共有n条对称轴，每条对称轴都经过它的中心，当n为偶数时，正n边形还是中心对称图形。 知识点3-2 正多边形中各元素间的关系 1）设正多边形的边长为，半径为R，边心距为，中心角为；则有关系： 2）正多边形的一些关系：①正n边形的中线角；②正n边形的周长； ③正n边形的面积 1．（2020·福建龙岩·初三期末）如图，已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm，则正六边形的边心距是__________cm． 2．（2020·云南盈江·初三学业考试）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则的值为（ ）（） A．0 B．0.14 C．0.5 D．1 3．（2019·长春市第一五三中学初三期中）如图，将正五边形绕其中心旋转角α后与其自身重合，则角α的最小值是_______． 4．（2019·河北路南初三三模）如图，一个正n边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是40°，那么n＝_____． 5．（2020·山西寿阳·初三期末）已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，图中阴影部分的面积为，则⊙O的半径为______． 6．（2019·上海交大附中初三）如图，是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为________． 7．（2020·河北初三二模）如图1，将一个正三角形绕其中心最少旋转，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将一个正方形绕其中心最少旋转 45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正七边形绕其中心最少旋转______，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，若正方形的边长为，则所得正八边形的面积为_______． 8．（2020·全国初三课时练习）如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90°，而=45是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示． 图2中的图案外轮廓周长是_____； 在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是_____． 9．（2020·江西南昌·初三二模）如图，在网格纸中，、都是格点，以为圆心，为半径作圆，用无刻度的直尺完成以下画图：（不写画法）（1）在圆①中画圆的一个内接正六边形；（2）在图②中画圆的一个内接正八边形. 知识点3-3 弧长、扇形和弓形的相关公式 1）弧长与n°圆心角的关系：=2，公式不可强记，通过比例关系推导： 弧长=圆的周长×（°圆心角的弧所占整个圆的比例）即：=2 2）扇形面积S与n°圆心角的关系：S= 扇形面积S=圆的面积×（比例）即：S= 3）弧长和扇形面积合并，推导得：S=； S=2 （便于记忆，可理解为三角形面积公式，—底；R—高） 4）弓形面积可以看作使扇形面积和三角形面积的分解与组合，实际应用时，可根据图形直接选用下列公式： ①当弓形所含的弧是劣弧时有： ②当弓形所含的弧时优弧时有： 1．（2020·山东长清·初三二模）如图，内接于圆，，，若，则弧的长为（ ） A． B． C． D． 2．（2020·全国初三课时练习）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为_____． 3．（2020·安定区中华路中学初三三模）一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角是___度． 4．（2020·福建仙游·初三二模）已知扇形的半径为，扇形的弧长为，则此扇形的圆心角是______． 5．（2020·山东初三期中）如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是________． 6．（2020·四川广安二中初三期末）如图，从一