复习练习卷20（函数值域的求法）-【新教材】2020-2021学年沪教版（2020）高中数学必修第一册

2020新版上海高一上数学练习卷20—函数值域的求法 求函数的值域，不但要注意对应关系的作用，而且要特别注意定义域对值域的 制约作用．常用方法有：图象法、单调性法、配方法、换元法、分离常数法、不等式法、判别式法、数形结合法等．求函数值域的基本原则有： (1)当函数y＝f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合． (2)当函数y＝f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所对应的实数y的集合． (3)当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应关系唯一确定． (4)当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定． 　求下列函数的值域： (1)y＝；　　 (2)y＝2x＋；　　　(3)y＝； (4)若x，y满足3x2＋2y2＝6x，求函数z＝x2＋y2的值域； (5)f(x)＝－. 解：(1)解法一：(反函数法)由y＝，解得x2＝， ∵x2≥0，∴≥0，解得－1＜y≤1，∴函数值域为(－1，1]． 解法二：(分离常数法) ∵y＝＝－1＋，又∵1＋x2≥1， ∴0＜≤2，∴－1＜－1＋≤1，∴函数的值域为(－1，1]． (2)(代数换元法) 令t＝(t≥0)，∴x＝1－t2， ∴y＝2(1－t2)＋t＝－2t2＋t＋2＝－2＋. ∵t≥0，∴y≤，故函数的值域为. (3)解法一：(不等式法) ∵y＝＝＝(x－1)＋， 又∵x＞1时，x－1＞0，x＜1时，x－1＜0， ∴当x>1时，y＝(x－1)＋≥2＝4，且当x＝3，等号成立； 当x<1时，y＝－≤－4，且当x＝－1，等号成立． ∴函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． 解法二：(判别式法) ∵y＝，∴x2－(y＋2)x＋(y＋5)＝0， 又∵函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， ∴方程x2－(y＋2)x＋(y＋5)＝0有不等于1的实根． ∴Δ＝(y＋2)2－4(y＋5)＝y2－16≥0， 解得y≤－4或y≥4.当y＝－4时，x＝－1；y＝4时，x＝3. 故所求函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． (4)(单调性法) ∵3x2＋2y2＝6x，∴2y2＝6x－3x2≥0，解得0≤x≤2. z＝x2＋y2＝x2＋3x－x2 ＝－x2＋3x＝－(x－3)2＋. ∵对称轴为x＝3＞2，即z在x∈[0，2]上单调递增． ∴当x＝0时，z有最小值0，当x＝2时，