专题05 求圆锥曲线的离心率与离心率范围问题（知识点串讲）-2020-2021学年高二上学期数学期末考点大串讲（新教材人教A版）（串讲篇）

专题05 求圆锥曲线的离心率与离心率的范围问题（知识点串讲） 知识网络 重难点突破 知识点一 借助平面几何图形中的不等关系 根据平面图形的关系,如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值 等得到不等关系,然后将这些量结合曲线的几何性质用 进行表示,进而得到不等式,从而确定离心率 的范围. 例1、已知两定点 和 ,动点 在直线 上移动,椭圆 以 为焦点且经过点 ,则椭圆 的离心率的最大值为（ ） A． B． C. D． 【变式训练1-1】、设F为双曲线C： 的右焦点， 为坐标原点，以 为直径的圆与圆 交于P，Q两点．若 ，则C的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【变式训练1-2】、（2020届广西柳州市高三第一次模拟）已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为，若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 知识点二 借助题目中的给出的不等式关系 根据试题本身给出的不等条件,如已知某些量的范围,存在点或直线使方程成立, 的范围等,进一步得到离心率的不等关系式,从而求解. 例2．已知平行四边形 内接于椭圆 ，且 ， 斜率之积的范围为 ，则椭圆 离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【变式训练2-1】、若 ，则双曲线 的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】、（2020届湖南省衡阳市高三一模）已知，分别是双曲线的左右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点，若，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 知识点三 借助函数的值域 根据题设条件,如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式,通过确定函数的定义域后,利用函数求值域的方法求解离心率的范围. 例3、已知二次曲线 ,则当 时,该曲线的离心率 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】、已知 ， 是双曲线 ： 的左、右焦点，点 在 上， 与 轴垂直， ，则 的离心率为（ ） A． B． C． D．2 【变式训练3-2】、已知 为双曲线 的右焦点， 为 的右顶点， 为 上的点，且 垂直于 轴．若 的斜率为 ，则 的离心率为 ． 知识点四 借助椭圆或双曲线的自身性质求范围 在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质,如椭圆 中, ,P是椭圆上任意一点,则 等. 例4、椭圆 的左、右顶点分别是 ，左、右焦点分别是 ．若 成等比数列，则此椭圆的离心率为_________． 【变式训练4-1】、已知 是椭圆 的左、右焦点， 是 的左顶点，点 在过 且斜率为 的直线上， 等腰三角形， ，则 的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】、如图， 分别是椭圆 ： + =1（ ）的左、右焦点， 是椭圆 的顶点， 是直线 与椭圆 的另一个交点， =60°． （Ⅰ）求椭圆 的离心率； （Ⅱ）已知△ 的面积为40 ，求a， b 的值． 1 / 12 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题05 求圆锥曲线的离心率与离心率的范围问题（知识点串讲） 知识网络 重难点突破 知识点一 借助平面几何图形中的不等关系 根据平面图形的关系,如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值 等得到不等关系,然后将这些量结合曲线的几何性质用 进行表示,进而得到不等式,从而确定离心率 的范围. 例1、已知两定点 和 ,动点 在直线 上移动,椭圆 以 为焦点且经过点 ,则椭圆 的离心率的最大值为（ ） A． B． C. D． 【答案】A 【解析】 关于直线 的对称点为 ,连接 交直线 于点 ,则椭圆 的长轴长的最小值为 ,所以椭圆 的离心率的最大值为 ,故选A. 【点评】求解本题的关键是利用对称性求距离的最小值 【变式训练1-1】、设F为双曲线C： 的右焦点， 为坐标原点，以 为直径的圆与圆 交于P，Q两点．若 ，则C的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】