4.4 数学归纳法-2020-2021学年高二数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版2019选择性必修第二册）

4.4数学归纳法* 导学案 编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 【学习目标】 1.了解数学归纳法原理. 2.掌握数学归纳法的两个步骤，会用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 【自主学习】 知识点1 归纳法及分类 1.由一系列有限的特殊事例得出一般性结论的推理方法，通常叫归纳法， 归纳法可以分为完全归纳法和不完全归纳法， (1)完全归纳法 完全归纳法所得出的结论是完全可靠的，因为它考察了问题涉及的所有对象； (2)不完全归纳法 不完全归纳法得出的结论不一定可靠，因为它只考察了某件事情的部分对象，但它是一种重要的思考问题的方法，是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段. 2.用不完全归纳法发现规律，再用完全归纳法证明，是解决问题的一种重要途径. 完全归纳法是一种在研究了解事物的所有(有限种)特殊情况后， 得出一般结论的推理方法，又叫枚举法. 与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的. 通常在事物包括的特殊情况不多时，采用完全归纳法. 知识点2 数学归纳法 1.数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； ②(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立. 2.应用数学归纳法时注意几点： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题. (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可. (3)步骤②的证明必须以“假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”为条件. 【合作探究】 探究一 用数学归纳法证明恒成立 【例1】求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*). 证明　(1)当n＝1时，左边＝1＋1＝2，右边＝21×1＝2，左边＝右边，等式成立. (2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立， 即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)， 那么，当n＝k＋1时， 左边＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2) ＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)· ＝2k·1·3·…·(2k－1)(2k＋1)·2 ＝2k＋1·1·3·…·(2k－1)·[2(k＋1)－1]＝右边. ∴当n＝k＋1时，等式也成立. 由(1)(2)可知，对一切n∈N*，原等式均成立. 归纳总结： 【练习1】用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝n(4n2－1)(n∈N*). 证明　(1)当n＝1时，左边＝12，右边＝×1×(4×12－1)＝1， 左边＝右边，等式成立. (2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立， 即12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＝k(4k2－1)， 则当n＝k＋1时， 12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＋(2k＋1)2 ＝k(4k2－1)＋(2k＋1)2 ＝k(2k＋1)(2k－1)＋(2k＋1)2 ＝(2k＋1)[k(2k－1)＋3(2k＋1)] ＝(2k＋1)(2k2＋5k＋3) ＝(2k＋1)(k＋1)(2k＋3) ＝(k＋1)(4k2＋8k＋3) ＝(k＋1)[4(k＋1)2－1]， 即当n＝k＋1时，等式成立. 由(1)(2)知，对一切x∈N*等式成立. 探究二 证明不等式问题 【例2】已知{an}为等比数列且an＝2n－1，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，用数学归纳法证明对任意的n∈N*，不等式··…·＞成立. 证明　由已知条件可得bn＝2n(n∈N*)， ∴所证不等式为··…·＞. (1)当n＝1时，左边＝，右边＝， 左边＞右边，∴不等式成立. (2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立. 即··…·＞， 则当n＝k＋1时，··…··＞·＝. 要证当n＝k＋1时，不等式成立，只需证≥， 即证≥， 由基本不等式，得＝≥成立， ∴≥成立，∴当n＝k＋1时，不等式成立. 由(1)(2)可知，对一切n∈N*，原不等式均成立. 归纳总结： 【练习2】用数学归纳法证明对一切n∈N*,1＋＋＋… ＋≥. 证明　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝＝1，不等式成立. (2)假设当n＝k时，不等式成立， 即1＋＋＋…＋≥， 则当n＝k＋1时，要证1＋＋＋…＋＋≥， 只需证＋≥. 因为－ ＝－ ＝ ＝≤0， 所以＋≥， 即1＋＋＋…＋＋≥， 所以当n＝k＋1时不等式成立. 由(1)(2)知，不等式对一切n∈N*都成立. 探究三 用数学归纳法证明整除问题 【例3】求证n∈N*时，an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除. 证明　(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立. (2)假设