4.3.1 等比数列的性质2课时-2020-2021学年高二数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3.1等比数列的性质 导学案 编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 【学习目标】 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式. 2.熟悉等比数列的有关性质. 3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法． 【自主学习】 知识点1 等比数列通项公式的推广 （1）推广的等比数列的通项公式 {an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1，an＝am·qn－m(m，n∈N*)． （2）“子数列”性质 对于无穷等比数列{an}， 若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q； 若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk. 知识点2 由等比数列衍生出新的等比数列 若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{a}，{an·bn}，{}也为等比数列． 知识点3 等比数列的性质 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq. ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝a. ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积， 即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. 【合作探究】 探究一 等比数列的判定方法 【例1】已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n－5an－85，n∈N*，证明：{an－1}是等比数列． 证明　当n＝1时，a1＝S1＝1－5a1－85， 解得a1＝－14， ∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝1－5an＋5an－1， ∴6an＝5an－1＋1，an－1＝(an－1－1)， ∴{an－1}是首项为－15，公比为的等比数列． 归纳总结： 【练习1】若数列{an}为等比数列，公比为q，且an>0，bn＝lg an，试问数列{bn}是什么数列？并证明你的结论． 解　数列{bn}是等差数列．证明如下： ∵bn＋1－bn＝lg an＋1－lg an＝lg＝lg q(常数)， ∴{bn}是公差为lg q的等差数列． 探究二 等比数列的性质 【例2】已知{an}为等比数列． (1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； (2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 解　(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a ＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0， ∴a3＋a5>0， ∴a3＋a5＝5. (2)根据等比数列的性质 a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10) ＝log395＝10. 归纳总结： 【练习2】在各项均为正数的等比数列{an}中，若a3a5＝4，则a1a2a3a4a5a6a7＝________. 【答案】　128 解析　∵a3a5＝a＝4，an>0， ∴a4＝2. ∴a1a2a3a4a5a6a7＝(a1a7)·(a2a6)·(a3a5)·a4 ＝43×2＝128. 探究三 等比数列未知量的设法技巧 【例3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数． 解　方法一　设这四个数依次为a－d，a，a＋d，， 由条件得 解得或 所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0,4,8,16； 当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1. 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 方法二　设这四个数依次为－a，，a，aq(q≠0)， 由条件得 解得或 当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0,4,8,16； 当a＝3，q＝时，所求的四个数为15,9,3,1. 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 归纳总结： 【练习3】有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数． 解　设这四个数分别为x，y,18－y,21－x， 则由题意得 解得或 故所求的四个数为3,6,12,18或，，，. 课后作业 A组 基础题 一、选择题 1．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为(　　) A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】　A 解析　由a5＝a2q3，得q3＝8，所以q＝2. 2．在等比数列{an}中，an>0，且a1a10＝27，则log3a2＋log3a9等于(　　) A．9 B．6 C．3 D．2 【答案】　C 解析　因为a2a9＝a1a10＝27， 所以log3a2＋log3a9＝log327＝3