4.3.1 等比数列的概念1课时-2020-2021学年高二数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3.1等比数列的概念 导学案 编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 【学习目标】 1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用. 2.掌握等比中项的概念并会应用. 3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程 【自主学习】 知识点1 等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示． 知识点2 等比中项的概念 （1）如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，这三个数满足关系式ab＝G2. （2）等比中项与等比中项的异同，对比如下表： 对比项 等差中项 等比中项 定义 若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项 若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项 定义式 A－a＝b－A ＝ 公式 A＝ G＝± 个数 a与b的等差中项唯一 a与b的等比中项有两个，且互为相反数 备注 任意两个数a与b都有等差中项 只有当ab＞0时，a与b才有等比中项 知识点3 等比数列的通项公式 首项为，公比为的等比数列的通项公式是． 等比数列通项公式的变形：． 【合作探究】 探究一 等比数列的判定与证明 【例1】已知f(x)＝logmx(m＞0且m≠1)，设f(a1)，f(a2)，…，f(an)，…是首项为4，公差为2的等差数列，求证：数列{an}是等比数列． 证明　由题意知f(an)＝4＋2(n－1)＝2n＋2＝logman， ∴an＝m2n＋2， ∴＝＝m2， ∵m＞0且m≠1， ∴m2为非零常数， ∴数列{an}是等比数列． 归纳总结： 【练习1】已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝(an－1)(n∈N*)． (1)求a1，a2； (2)证明：数列{an}是等比数列． (1)解　∵a1＝S1＝(a1－1)，∴a1＝－. 又a1＋a2＝S2＝(a2－1)，∴a2＝. (2)证明　∵Sn＝(an－1)， ∴Sn＋1＝(an＋1－1)， 两式相减得an＋1＝an＋1－an， 即an＋1＝－an， ∴数列{an}是首项为－，公比为－的等比数列． 探究二 等比中项 【例2】若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则的值为(　　) A．± B. C．1 D．±1 【答案】　D 解析　∵1，a,3成等差数列， ∴a＝＝2， ∵1，b,4成等比数列， ∴b2＝1×4，b＝±2， ∴＝＝±1. 归纳总结： 【练习2】＋1与－1的等比中项是(　　) A．1 B．－1 C．±1 D. 【答案】　C 解析　设x为＋1与－1的等比中项， 则x2＝(＋1)(－1)＝1. ∴x＝±1. 探究三 等比数列通项公式的应用 【例3】一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项． 解　设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么 ②÷①，得q＝， 将q＝代入①，得a1＝. 因此，a2＝a1q＝×＝8. 综上，这个数列的第1项与第2项分别是与8. 归纳总结： 【练习3】在等比数列{an}中． (1)已知a1＝3，q＝－2，求a6； (2)已知a3＝20，a6＝160，求an. 解　(1)由等比数列的通项公式得， a6＝3×(－2)6－1＝－96. (2)设等比数列的公比为q， 那么 解得 所以an＝a1qn－1＝5×2n－1. 探究四 等比数列的实际应用 【例4】某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长(精确到1年，放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期) 解　设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩余量是an， 由条件可得，数列{an}是一个等比数列． 其中a1＝0.84，q＝0.84， 设an＝0.5，则0.84n＝0.5. 两边取对数，得nlg 0.84＝lg 0.5，用计算器算得n≈4. 答　这种物质的半衰期大约为4年． 归纳总结： 【练习4】某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨？(保留到个位，lg 6≈0.778，lg 1.2≈0.079) 解　记该糖厂每年制糖产量依次为a1，a2，a3，…，an，….则依题意可得a1＝5，＝1.2(n≥2且n∈N*)， 从而an＝5×1.2n－1，这里an＝30， 故1.2n－1＝6， 即n－1＝log1.26＝＝≈9.85. 故n＝11. 答　从2021年开始，该糖厂年制糖量开始超过30万吨． 课后作业 A组 基础题 一、选择题 1．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝6