4.2.1 等差数列的性质-2020-2021学年高二数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2.1等差数列的性质 导学案 编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 【学习目标】 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质. 2.能运用等差数列的性质解决有关问题． 【自主学习】 知识点1 等差数列通项公式的推广 等差数列{an}中，若公差为d，则an＝am＋(n－m)d，当n≠m时，d＝. 知识点2 等差数列的性质 在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap. 知识点3 由等差数列衍生的新数列 若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 【合作探究】 探究一 等差数列推广通项公式的应用 【例1】在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式． 解　因为a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2. 又因为an＝a2＋(n－2)d，所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1. 归纳总结： 【练习1】数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8等于(　　) A．0 B．3 C．8 D．11 答案　B 解析　∵{bn}为等差数列，设其公差为d， 则d＝＝＝2， ∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8. ∴a8＝(a8－a7)＋(a7－a6)＋(a6－a5)＋(a5－a4)＋(a4－a3)＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1 ＝b7＋b6＋…＋b1＋a1 ＝(b7＋b1)＋(b6＋b2)＋(b5＋b3)＋b4＋a1 ＝7b4＋a1＝7×0＋3＝3. 探究二 等差数列与一次函数的关系 【例2】已知数列{an}的通项公式an＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？ 解　取数列{an}中任意相邻两项an和an－1(n>1)， 求差得an－an－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q] ＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p. 它是一个与n无关的常数，所以{an}是等差数列． 由于an＝pn＋q＝q＋p＋(n－1)p， 所以首项a1＝p＋q，公差d＝p. 归纳总结： 【练习2】某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 解　由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则an－an－1＝－20(n≥2，n∈N*)，每年获利构成等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20. 所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20) ＝－20n＋220. 若an＜0，则该公司经销这一产品将亏损， 由an＝－20n＋220＜0，解得n＞11， 即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损． 探究三 等差数列性质的应用 【例3】已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式． 解　方法一　因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15， 所以a4＝5. 又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9， 即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9， 解得d＝±2. 若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3； 若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n. 方法二　设等差数列的公差为d， 则由a1＋a4＋a7＝15，得 a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15， 即a1＋3d＝5， ① 由a2a4a6＝45， 得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45， 将①代入上式，得 (a1＋d)×5×(5＋2d)＝45， 即(a1＋d)×(5＋2d)＝9， ② 解①，②组成的方程组， 得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2， 即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3 或an＝11－2(n－1)＝－2n＋13. 归纳总结： 【练习3】在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值． 解　方法一　∵(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝3d， (a3＋a6＋a9)－(a2＋a5＋a8)＝3d， ∴a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差数列． ∴a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8