4.2.1 等差数列的概念-2020-2021学年高二数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2.1等差数列的概念 导学案 编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 【学习目标】 1.理解等差数列的定义. 2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题. 3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用． 【自主学习】 知识点1 等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差， 公差通常用字母d表示 知识点2 等差中项 在由三个数a，A，b组成的等差数列中，A叫做a与b的等差中项． 这三个数满足关系式2A＝a＋b. 知识点3 等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么 通项公式 an＝a1＋(n－1)d 递推公式 an＋1－an＝d(或an－an－1＝d(n≥2)) 【合作探究】 探究一 等差数列的概念 【例1】判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…； (2)－1,11,23,35，…，12n－13，…； (3)1,2,1,2，…； (4)1,2,4,6,8,10，…； (5)a，a，a，a，a，…. 解　由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列． 归纳总结： 【练习1】数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列(　　) A．是公差为2的等差数列 B．是公差为5的等差数列 C．是首项为5的等差数列 D．是公差为n的等差数列 答案　A 解析　∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2， ∴{an}是公差为2的等差数列． 探究二 等差数列的判定 【例2】已知数列{an}的通项公式为an＝4－2n，求证：数列{an}是等差数列； [分析]　根据等差数列的定义即可证明． [证明]　(1)∵an＝4－2n， ∴an＋1＝4－2(n＋1)＝2－2n. ∴an＋1－an＝(2－2n)－(4－2n)＝－2. ∴{an}是等差数列． 归纳总结：判断数列{an}是否为等差数列，主要是利用等差数列的定义，即验证其通项是否满足an＋1－an＝d(n∈N*)．具体步骤为 (1)确定数列{an}的通项公式； (2)由an表示an＋1，即将an中的n替换为n＋1得an＋1； (3)作差：an＋1－an，并判断其结果是否为常数； (4)总结：若an＋1－an是常数(即一个与n无关的数)，则数列{an}是等差数列，否则数列{an}不是等差数列． 【练习2】在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1－，bn＝，其中n∈N*.求证：数列{bn}是等差数列． [证明]　∵bn＋1－bn＝－ ＝－ ＝－＝2(n∈N*)， 且b1＝＝2， ∴数列{bn}是以2为首项，2为公差的等差数列． 探究三 等差数列的通项公式及其应用 【例3】在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an. 解　由题意可得 解得d＝2，a1＝2. ∴an＝2＋(n－1)×2＝2n. 归纳总结： 【练习3】　(1)求等差数列8,5,2，…的第20项； (2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？ 解　(1)由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3， 由n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49. (2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1. 由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100， 即－401是这个数列的第100项． 探究四 等差中项 【例4】在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列． 解　∵－1，a，b，c,7成等差数列， ∴b是－1与7的等差中项， ∴b＝＝3. 又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1. 又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5. ∴该数列为－1,1,3,5,7. 归纳总结： 【练习4】若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项． 解　由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8. 又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10. 两式相加，得m＋n＝6. 所以m和n的等差中项为＝3. 课后作业 A组 基础题 一、选择题 1．若a≠b，则等差数列a，x1，x2，b的公差是(　　) A．b－a B. C. D. 答案　C 解析　由等差数列的通项公式， 得b＝a＋(4－1)d， 所以d＝. 2．已知等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于(　　) A．15 B．22 C．7 D．29 答案　A 解析　设{an}的首项为a1，公差为d， 根据题意得 解得a1＝47，d＝－8