二次函数专训18 二次函数实际问题应用—动态几何、图形运动问题（基础训练+拓展提升）-2020-2021学年九年级数学下册计算力提升训练（苏科版）

二次函数专训18 二次函数实际问题应用—动态几何、图形运动问题（基础训练+拓展提升） 1．如图，在平面直角坐标系中，已知 A（-2,0），B（0，m）两点，且线段AB= 2 ，以 AB 为边在第二象限内作正方形 ABCD。 （1）求点 B 的坐标 （2）在 x 轴上是否存在点 Q，使△QAB 是以 AB 为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如果在坐标平面内有一点 P（a，3），使得△ABP 的面积与正方形 ABCD 的面 积相等，求 a 的值。 【答案】(1)（0，4）(2)存在，Q点坐标为（ ，0）或（ ，0）或（2，0） (3) 或 【分析】（1）因为三角形ABO为直角三角形，所以可依据勾股定理求出OB的长度，即可求出点B的坐标. （2）当AB=AQ时，三角形QAB为等腰三角形，当BQ=AB时，三角形QAB为等腰三角形，再根据AB的长度分别求出点Q的坐标即可. （3）由P（a，3）可知，p点在y=3直线上运动，画出简图，当a＞0和当a＜0时，分两种情况进行分析. 【详解】(1)由题意知AB= ，AO=2，根据勾股定理得 ,所以点B的坐标为（0，4） （2）设Q点坐标为（m，0） 当AB=AQ时，即AQ= = ，解得：m= 或 则此时Q点坐标为（ ，0）（ ，0） 当BQ=AB时，BQ= ，解得：m=2或-2 而m=-2时与A点重合，则m=2. 则Q的坐标为（2，0） （3）① 由题意可知p点坐标为（a，3），则p点再y=3这条直线上，连接BP，AP，y=3与y轴的交点为H，与直线AB的交点为G，当a大于0时，如图所示： 此时三角形APB的面积可以由三角形PBG与三角形PGA的面积和求得. 设AB直线的函数解析式为y=kx+b，代入点A(-2，0)，B(0,4)得： 则G点的纵坐标与P点的纵坐标相等，则把y=3代入 ，得x= 则此时G点坐标为（ ，3），则PG=a- = 则三角形PBG与三角形PGA的面积和为：GP×BH× + GP×OH× = GP(BH+OH)= GP×BO= 即 解得： . ② 当a小于0时，如图所示： 同理①得：PG= -a 则此时有： GP(BH+OH)= GP×BO= 解得： 则综上所述： 或 【点睛】本题考查知识点较为综合，解题关键在于需要借助图像，分情况进行讨论，在第（2）问中，三角形以AB为腰长的等腰三角形的情况有三种，在第(3)问中，务必考虑P点横坐标的正负情况. 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．点P、Q同时从点A出发，点P以每秒2个单位的速度沿A→B→C→D的方向运动；点Q以每秒1个单位的速度沿A→D→C的方向运动，当P、Q两点相遇时，它们同时停止运动．设P、Q两点运动的时间为x秒，△APQ的面积为S（平方单位）． （1）点P、Q从出发到相遇所用的时间是　 秒． （2）当2＜x≤3时，求S与x之间的函数关系式　 ． （3）当（2）的条件下，x为何值时，△APQ的面积为 ． 【答案】（1）4；（2）S＝﹣x2+4x；（3）满足条件的x的值为2+ ． 【分析】（1）总路程除以速度和，就可以得到时间． （2）如图，当2＜x≤3时，点P在线段BC上，点Q在线段CD上，利用分割法求解即可． （3）把S的值分别代入分段函数求出值． 【详解】（1）（4×2+2×2）÷（2+1）＝4（秒）， 故答案为4． （2）如图，当2＜x≤3时，点P在线段BC上，点Q在线段CD上， ∴S＝S矩形ABCD﹣S△ADQ﹣S△ABP﹣S△CPQ＝4×2﹣ ×2×（x﹣2）﹣ ×4×（2x﹣4）﹣ ×（6﹣x）×（6﹣2x）＝﹣x2+4x． 故答案为：S＝﹣x2+4x． （3）当2＜x≤3时，﹣x2+4x＝ ， ∴x＝2± ， ∵2＜x≤3， ∴x＝2+ ． ∴满足条件的x的值为2+ ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了一元二次方程的应用，矩形的性质，以及函数的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题． 3．如图所示，在 中， ， ， ，点 由点 出发沿 方向向点 匀速运动，同时点 由点 出发沿 方向向点 匀速运动，它们的速度均为 ．连接 ，设运动时间为 ． （1）当 为何值时， ？ （2）设 的面积为 ，求 与 的函数关系式，并求出当 为何值时， 取得最大值？ 的最大值是多少？ 【答案】（1） （2）S＝− （t− ）2＋ ， t＝ ，S有最大值，最大值为 ． 【分析】（1）利用分线段成比例定理构建方程即可解决问题． （2）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可． 【详解】（1）∵PQ⊥AC， ∴∠AQP＝∠C＝90°， ∴PQ∥BC， ∴ ， 在Rt△ACB中，AB＝ ∴ ， 解得t＝ ， ∴t为 时，PQ