1.2 任意角 (配套Word教参)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第二册(北师大版)

§2　任意角 2.1　角的概念推广 2.2　象限角及其表示 课程内容标准 学科素养凝练 了解任意角的概念；掌握终边相同的角的表示方法. 通过学习任意角的概念掌握终边相同的角的表示方法，提升数学抽象及数学运算素养. 一、角的概念 1．角的概念：平面内 一条射线 OA绕着它的 端点O 按箭头所示方向 旋转 到终止位置OB，形成角α.其中点O是角α的顶点，射线OA是角α的 始边 ，射线OB是角α的 终边 . 2．按照角的旋转方向，分为如下三类： 类型 定义 正角 按 逆时针 方向旋转形成的角 负角 按 顺时针 方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个 零角 二、象限角 在一个平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边在x轴的 非负 半轴，以 角的终边 (除端点外)在平面直角坐标系的位置对角分类：角的终边在第几象限，就说这个角是 第几象限角 .如果角的终边在坐标轴上，这个角就不属于任何 象限 . 三、终边相同的角 一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋ k·360° ，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与 周角 的整数倍的和． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)钟面上经过1小时，时针转过30°. (　　) (2)小于90°的角是锐角． (　　) (3)钝角是第二象限角． (　　) (4)第二象限角是钝角． (　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(多选题)下列四个命题中正确的是(　ABC　) A．－75°是第四象限角 B．225°是第三象限角 C．475°是第二象限角 D．－615°是第一象限角 3．(教材P8习题1改编)已知角α＝－200°，则角α的终边落在第 ________ 象限． 二　[因α＝－200°＝－360°＋160°，故角α的终边落在第二象限．] 探究一　角的概念的推广 写出下图中的角α，β，γ的度数． 解　要正确识图，确定好旋转的方向和旋转角的大小．由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°. [方法总结]　表示角时的两个注意点 1．用字母表示角时，可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”． 2．用图示表示角时，箭头不能丢掉，因为箭头代表旋转的方向，即代表着角的正负． [训练1]　(1)图中角α＝ ________ ，β＝ ________ . －150°　210°　[α＝－(180°－30°)＝－150°，β＝30°＋180°＝210°.] (2)经过10 min，分针转了 ________ . －60°　[分针按顺时针转过了周角的eq \f(1,6)，即－60°.] 探究二　终边相同的角 已知α＝－1 910°. (1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角． (2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°. 解　(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°， 从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角． (2)令θ＝250°＋k′×360°，k′∈Z， 取k′＝－1，－2，就得到满足－720°≤θ＜0°的角， 即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°. 所以θ为－110°，－470°. [变式]　若已知角α的终边在直线y＝－eq \r(3)x上，试写出角α对应的角的集合． 解　终边在y＝－eq \r(3)x(x<0)上的角的集合是 S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}； 终边在y＝－eq \r(3)x(x≥0)上的角的集合是 S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}． 因此，终边在直线y＝－eq \r(3)x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}， 即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}． 故终边在直线y＝－eq \r(3)x上的角的集合是 S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}． [方法总结]　 1．求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值． 2．求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并． [训练2]　 写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合． 解　终边在直线OM上的角的集合为M＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝