1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 (配套Word教参)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第二册(北师大版)

§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 课程内容标准 学科素养凝练 借助于单位圆理解正弦函数，余弦函数的定义. 通过学习正弦函数、余弦函数的定义进一步提升数学抽象素养. 任意角的正弦函数、余弦函数的定义 1.如图，给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)，点P的 纵坐标v ,_ 横坐标u 都是唯一确定的，我们把点P的 纵坐标v 定义为角α的正弦值，仍记作 v＝sin α ；把点P的 横坐标u 定义为角α的余弦值，仍记作 u＝cos_α . 2．设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则 sin α＝ eq \f(y,r) ，cos α＝ eq \f(x,r) ，其中r＝ eq \r(x2＋y2). 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)sin α，cos α的大小与点P(x，y)在角α的终边上的位置有关． (　　) ×　提示　三角函数的大小由角α终边位置确定，而与点P(x，y)在终边上的位置无关． (2)正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．(√) 2．若角α的终边与单位圆相交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，则sin α的值为 (　B　) A．eq \f(\r(2),2)　 B．－eq \f(\r(2),2) C．eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2) 3．(教材P15练习1改编)若角α的终边与单位圆相交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，则cos α＝ ________ . 答案　－eq \f(1,2) 探究一　已知角α终边上一点坐标求三角函数值 [知能解读]　 1．sin α，cos α是一个整体，不是“sin”“cos”与α的乘积，它是正弦、余弦函数的一个记号，离开自变量的“sin”“cos”是没有意义的． 2．对于任意一个给定的角α，它只有唯一的一条终边，从而终边与单位圆只有唯一的一个交点，所以它对应的正弦值和余弦值都是唯一确定的． 在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，\f(5,13)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，那么sin αcos β＝(　　) A．－eq \f(36,65)　 B．－eq \f(3,13)　 C．eq \f(4,13)　　 D．eq \f(48,65) B　[因角α，β的终边与单位圆分别交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，\f(5,13)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，故由定义知sin α＝eq \f(5,13)，cos β＝－eq \f(3,5). 所以sin αcos β＝eq \f(5,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－eq \f(3,13).] [方法总结]　 1．已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法： (1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，再利用正弦、余弦函数的定义求出相应的三角函数值． (2)在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝eq \f(y,r)，cos α＝eq \f(x,r).当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便． 2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． [训练1]　在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为eq \f(3,5)，求sin α及cos α的值． 解　由题意，设点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(3,5)))， 所以x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＝1.解得x＝eq \f(4,5)或－eq \f(4,5). 当x＝eq \f(4,5)时，角α在第一象限，sin α＝eq \f(3,5)，cos α＝eq \f(4,5). 当x＝－eq \f(4,5)时，角α在第二象限，sin α＝eq \f(3,5)，cos α＝－eq \f(4,5). 探究二　已知角α终边所在的直线求三角函数值 已知角α的终边在直线y＝－3x上