1.4.3 诱导公式与对称 (配套Word教参)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第二册(北师大版)

4.3　诱导公式与对称 课程内容标准 学科素养凝练 借助单位圆的对称性，利用定义推导出正弦、余弦函数中α±π的诱导公式. 通过学习诱导公式及运用诱导公式解题，提升逻辑推理及数学抽象素养. 1．角α与－α的正弦函数、余弦函数关系 sin(－α)＝－sin α，所以正弦函数v＝sin α是 奇 函数； cos(－α)＝cos α，所以余弦函数u＝cos α是 偶 函数． 2. 角α与α±π的正弦函数、余弦函数关系 sin(α＋π)＝ －sin_α ，sin(α－π)＝ －sin_α ,_ cos(α＋π)＝ －cos_α ,_cos(α－π)＝ －cos_α . 3. 角α与π－α的正弦函数、余弦函数关系 sin(π－α)＝ sin_α ，cos(π－α)＝ －cos_α . 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)sin(α－π)＝sin α. (　　) ×　提示　sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin α. (2)cos eq \f(4,3)π＝－eq \f(1,2).(　　) √　提示　cos eq \f(4π,3)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))＝－cos eq \f(π,3)＝－eq \f(1,2). (3)诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用． (　　) ×　提示　在角度制和弧度制下，公式都成立． 2．(教材P21练习1改编)sin 585°的值为 (　　) A．－eq \f(\r(2),2)　　　 B．eq \f(\r(2),2) C．－eq \f(\r(3),2)　 D．eq \f(\r(3),2) A　[sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－eq \f(\r(2),2).] 3. 已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是 (　　) A．sin α＝sin β B．sin(α－2π)＝sin β C．cos α＝cos β D．cos(2π－α)＝－cos β C　[由角α和β的终边关于x轴对称，可知β＝－α＋2kπ(k∈Z)，故cos α＝cos β.] 探究一　已知角求值问题 [知能解读]　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 1．“负化正”：用公式把负角转化为正角； 2．“大化小”：用公式把角化为0°到360°间的角； 3．“角化锐”：用公式将大于90°的角转化为锐角； 4．“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 求下列各三角函数值． (1)cos 210°；(2)sineq \f(11π,4)；(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(43π,6)))； (4)cos(－1 920°)． 解　(1)cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－eq \f(\r(3),2). (2)sineq \f(11π,4)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(3π,4)))＝sineq \f(3π,4) ＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,4)))＝sineq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2). (3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(43π,6)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6π＋\f(7π,6)))＝－sineq \f(7π,6) ＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,6)))＝sineq \f(π,6)＝eq \f(1,2). (4)cos(－1 920°)＝cos 1 920°＝cos(5×360°＋120°) ＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－eq \f(1,2). [方法总结]　解决已知角求值问题的策略 1．解决已知角求值问题，首先要仔细观察所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． 2．将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化． [训练1]　求下列各三角函数值． (1)sin 1 320°；(2)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6))). 解　(1)方法一　sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－eq \f(\r(3),2). 方法二　sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－6