1.5.1 第2课时 正弦函数性质的应用 (配套Word教参)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第二册(北师大版)

第二课时　正弦函数性质的应用 课程内容标准 学科素养凝练 借助于正弦函数的图象理解正弦函数在[0,2π]上的性质． 通过正弦函数的图象研究函数的性质，提升数学抽象及数学直观素养. 正弦函数的性质 函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 图象 定义域 R 值域 [－1,1] 最值 当x＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1； 当x＝－eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 周期性 是周期函数，周期为2kπ(k∈Z，k≠0)，2π是它的最小正周期 奇偶性 奇函数，图象关于 原点 对称 函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 续表 单调性 在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z上是增函数； 在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))，k∈Z上是减函数 对称轴 x＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z 对称中心 (kπ，0)，k∈Z 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)正弦函数在定义域上是单调函数． (　　) ×　提示　正弦函数不是定义域上的单调函数． (2)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(×) (3)y＝sin|x|是偶函数．(√) 2．已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a等于 (　　) A．0　　 B．1　　 C．－1　　 D．±1 A　[由sin(－x)－|a|＝－sin x＋|a|，得|a|＝0，故a＝0.] 3．(教材P32练习3改编)函数y＝－2sin 3x的最小正周期为 ________ . eq \f(2π,3) 　[由正弦函数的周期公式可得T＝eq \f(2π,3).] 探究一　与正弦函数有关的值域问题 [知能解读]　 1．函数y＝sin x的值域是研究其他复合函数的值域和最值的重要依据. 2．形如y＝asin x＋b的函数最值或值域问题，一般利用正弦函数的有界性(－1≤sin x≤1)求解. 3．形如y＝asin2x＋bsin x＋c的最值或值域求法，一般用配方法． 求下列函数的最值，并求取得最值时x的取值集合： (1)y＝3－2sin 2x; (2)y＝sin2x－4sin x＋5. 解　(1)∵－1≤sin 2x≤1，∴－2≤－2sin 2x≤2. ∴y∈[1,5]． ∴当x＝kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)时，函数有最小值1； 当x＝kπ＋eq \f(3π,4)(k∈Z)时，函数有最大值5. 故当函数取最小值1时， x的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝kπ＋\f(π,4)，k∈Z))， 当函数取最大值5时， x的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝kπ＋\f(3π,4)，k∈Z)). (2)∵y＝(sin x－2)2＋1，sin x∈[－1,1]， ∴当sin x＝－1，即x＝2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z时，ymax＝10； 当sin x＝1，即x＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z时，ymin＝2. 故y取得最大值10时，x的取值集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z))；y取得最小值2时，x的取值集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝2kπ＋\f(π,2)，k∈Z)). [变式]　将例1(1)的条件变为“已知函数f(x)＝2asin x＋b的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，函数的最大值为1，最小值为－5”，试求a和b的值． 解　∵－eq \f(π,3)≤x≤eq \f(2π,3)，∴－eq \f(\r(3),2)≤sin x≤1. 若a＝0，则不满足题意． 若a＞0，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＋b＝1，,－\r(3)a＋b＝－5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝12－6\r(3)，,b＝－23＋12\r(3).)) 若a＜0，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＋b＝－5，,－\r(3)a＋b＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－12＋6\r(3)，,b＝19－12\r(3).)) 故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\