1.7 正切函数（一） (配套Word教参)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第二册(北师大版)

§7　正切函数 7.1　正切函数的定义 7.2　正切函数的诱导公式 课程内容标准 学科素养凝练 1.借助单位圆，理解正切函数的定义，了解正切函数的周期性、单调性、奇偶性． 2．借助对称性，利用定义推导出正切函数的诱导公式. 通过正切函数的定义，研究正切函数的性质，提升数学抽象及数学直观素养. 1．正切函数的定义 (1)任意角的正切函数： 根据函数的定义，比值 eq \f( sin x , cos x) 是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝tan x，其中定义域为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(\b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))))) . (2)正切函数与正弦、余弦函数的关系： 在角α的终边上任取一点Q(x，y)(x≠0)，则由正切函数的定义，得tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝eq \f(\f(y,r),\f(x,r))＝ eq \f(y,x) . 2．正切函数的诱导公式 函数角 公式(k∈Z) 记忆口诀 kπ＋α tan(kπ＋α)＝tan α 函数名不变，符号看象限 －α tan(－α)＝ －tan_α π＋α tan(π＋α)＝ tan_α π－α tan(π－α)＝－tan α eq \f(π,2)＋α taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝ －eq \f(1,tan α) 函数名改变，符号看象限 eq \f(π,2)－α taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝eq \f(1,tan α) 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)tan(π－α)＝－tan α. (　　) (2)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq \f(1,tan α). (　　) (3)tan(π＋α)＝－tan α. (　　) (4)一个角的正切值的大小与在该角的终边上所取的点的位置有关． (　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材P62练习3改编)若角α的终边上有一点P(2x－1,3)，且tan α＝eq \f(1,5)，则x的值为(　　) A．7　　　　　　 B．8 C．15　 D．eq \f(4,5) B　[由正切函数的定义，得tan α＝eq \f(3,2x－1)＝eq \f(1,5).解得x＝8.] 3. taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝(　A　) A．－eq \f(1,tan α)　 B．eq \f(1,tan α) C．tan α D．－tan α 探究一　正切函数的定义 [知能解读]　已知角α终边上任一点的坐标(m，n)，利用定义求tan α时，其值与该点的位置无关，但要注意判断角α所在象限．利用定义可求下列特殊角的正切： α 0 eq \f(π,6) eq \f(π,4) eq \f(π,3) eq \f(2π,3) eq \f(3π,4) eq \f(5π,6) tan α 0 eq \f(\r(3),3) 1 eq \r(3) －eq \r(3) －1 －eq \f(\r(3),3) 已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sin α，cos α，tan α的值． 解　r＝eq \r(－4a2＋3a2)＝5|a|， 若a＞0，则r＝5a，角α在第二象限． ∴sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(3a,5a)＝eq \f(3,5)， cos α＝eq \f(x,r)＝eq \f(－4a,5a)＝－eq \f(4,5)，tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(3a,－4a)＝－eq \f(3,4). 若a＜0，则r＝－5a，角α在第四象限． ∴sin α＝－eq \f(3,5)，cos α＝eq \f(4,5)，tan α＝－eq \f(3,4). [方法总结]　 1．解决此类题的关键是熟记正切函数的定义． 2．已知角终边上的一点M(a，b)(a≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置． [训练1]　已知tan α＝eq \f(1,2)，利用三角函数的定义，求sin α和cos α. 解　∵tan α＝eq \f(1,2)＞0，∴角α是第一或第三象限角．