1.7 正切函数（二） (配套Word教参)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第二册(北师大版)

7.3　正切函数的图象与性质 课程内容标准 学科素养凝练 1.能借助正切函数的定义画出正切函数的图象． 2．借助正切函数的图象，理解正切函数在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的性质. 通过正切函数的图象研究正切函数的性质，提升数学直观及数学抽象素养. 1. 正切函数的图象及特征 (1)y＝tan x，x∈R且x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z的图象如下图，正切函数的图象称为正切曲线． (2)正切曲线的特征： 正切曲线是由被相互平行的直线x＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．这些直线叫作正切曲线各支的 渐近线 . 2．正切函数的性质 函数 y＝tan x 定义域 值域 R 续表 周期性 是周期函数，周期为kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为π 奇偶性 由tan(－x)＝－tan x，可知正切函数是 奇函数 ，正切曲线关于原点对称，(kπ，0)，k∈Z都是它的对称中心 单调性 在每一个区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))，k∈Z上单调递增 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)正切函数为定义域上的增函数． (　　) (2)正切函数存在闭区间[a，b]，使y＝tan x是递增的． (　　) (3)若x是第一象限的角，则y＝tan x是增函数． (　　) (4)正切函数y＝tan x的对称中心为(kπ，0)k∈Z. (　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的单调递增区间为 (　C　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z B．(kπ，kπ＋π)，k∈Z C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(3π,4)，kπ＋\f(π,4)))，k∈Z D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(3π,4)))，k∈Z 3．(教材P62练习2改编)函数y＝tan 2x的定义域为 ________ ，最小正周期为 ______ . eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)))＋\f(π,4)，k∈Z))　eq \f(π,2)　[由正切函数的定义知，若使y＝tan 2x有意义，则2x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.解得x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)，k∈Z，最小正周期为eq \f(π,2).] 探究一　正切函数的图象及应用 [知能解读]　要想由y＝f(x)的图象得到y＝f(|x|)及y＝|f(x)|的图象，可利用图象中的对称变换法完成．只需作出y＝f(x)(x≥0)的图象，令其关于y轴对称即可得到y＝f(|x|)(x≤0)的图象；同理只要作出y＝f(x)的图象，令图象“上不动，下翻上”即可得到y＝|f(x)|的图象． 利用正切函数的图象作出y＝|tan x|的图象，并写出使y＝eq \r(3)的x的集合． 解　∵当x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))时，y＝tan x≤0， 当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))时，y＝tan x＞0， ∴y＝|tan x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－tan x，x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))，k∈Z，,tan x，x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z.)) 图象如图所示． 使y＝eq \r(3)的x的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝kπ±\f(π,3)))，k∈Z)). [方法总结]　作正切函数的图象时，可以先画一个周期的图象，再把这一图象向左、右平移．从而得到正切函数的图象．根据图象的特点，可用“三点两线法”，这三点是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，－1))，(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，1))，