1.8 三角函数的简单应用 (配套Word教参)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第二册(北师大版)

§8　三角函数的简单应用 课程内容标准 学科素养凝练 会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型. 通过利用三角函数解决简单的实际问题，提升数学建模素养. 1．三角函数模型在物理学中的应用 在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦函数y＝Asin(ωx＋φ)来表示运动的位移y随时间x的变化规律，其中， (1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移； (2)T＝ eq \f(2π,ω) 称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间； (3)f＝ eq \f(1,T) ＝ eq \f(ω,2π) 称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数． 2．利用三角函数模型解决实际问题 在客观世界中，周期现象广泛存在，三角函数模型是刻画周期性问题的优秀的数学模型． 利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下： (1)收集数据，画出“散点图”； (2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决； (3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要具体情况具体分析． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． 如图所示为一简谐振动的图象， 对下列结果判断对错． (1)该质点的振动周期为0.7 s． (　　) (2)该质点的振幅为5 cm. (　　) (3)该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大． (　　) (4)该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零． (　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．电流I(A)随时间t(s)变化的关系式为I＝2sin 100πt，t∈(0，＋∞)，则电流I变化的周期是(　C　) A．eq \f(1,100) B．100 C．eq \f(1,50) D．50 3．(教材P66练习2改编)一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(g,l))t＋\f(π,3)))，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝ ________ cm. eq \f(g,4π2)　[T＝eq \f(2π,\r(\f(g,l)))＝1，∴ eq \r(\f(g,l))＝2π.∴l＝eq \f(g,4π2).] 探究一　已知解析式求周期、最值 交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,6)))来表示，求： (1)开始时的电压； (2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间． 解　(1)当t＝0时，E＝110eq \r(3)(V)． 即开始时的电压为110eq \r(3) V. (2)T＝eq \f(2π,100π)＝eq \f(1,50)(s)，即时间间隔为0.02 s. (3)电压的最大值为220eq \r(3) V. 当100πt＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即t＝eq \f(1,300) s时第一次取得最大值． [方法总结]　由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合三角函数的相关知识，因此，明确三角函数中的每个量对应的物理中的量是解答此类问题的关键． [训练1]　单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系为s＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6))). (1)作出它的图象． (2)单摆开始摆动时，离开平衡位置多少厘米？ (3)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？ (4)单摆来回摆动一次需要多少时间？ 解　(1)图略． (2)当t＝0时，s＝6sineq \f(π,6)＝6×eq \f(1,2)＝3. 即单摆开始摆动时，离开平衡位置3 cm. (3)s＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6)))的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6 cm. (4)s＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6)))的周期为1，所以单摆来回摆动一次需要的时间是1 s. 探究二　已知模型求解析式 下图表示电流I与时间t的关系式：I＝Asin(ωt＋π)(A＞0，ω＞0)在一个周期内的图象．根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式． 解　由图象可知A＝300， 又T＝2eq