2.1 从位移、速度、力到向量 (配套Word教参)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第二册(北师大版)

§1　从位移、速度、力到向量 1.1　位移、速度、力与向量的概念 1.2　向量的基本关系 课程内容标准 学科素养凝练 通过力与力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示. 通过学习向量的有关概念，提升数学抽象及逻辑推理素养. 1．向量的概念 既有大小又有方向的量统称为向量，那些只有大小没有方向的量称为数量(如年龄、长度、体重、面积、体积等)． 2．向量的表示方法 (1)具有方向和长度的线段称为有向线段．以A为起点，以B为终点的有向线段，记作eq \o(AB,\s\up6(→)).线段AB的长度称为有向线段eq \o(AB,\s\up6(→))的长度，记作|eq \o(AB,\s\up6(→))|. (2)向量可以用有向线段来表示，其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向. (3)向量也可以用黑体小写字母如a，b，c，…或eq \o(a,\s\up6(→))，eq \o(b,\s\up6(→))，eq \o(c,\s\up6(→))，…(书写)来表示． 向量a的大小，记作|a|.又称作向量的模． 3．与向量有关的概念 名称 定义 记法 零向量 长度为0的向量称为零向量；任何方向都可以作为零向量的方向．规定零向量与任一向量共线；零向量的相反向量仍是零向量 0或 eq \o(0,\s\up6(→)) 单位向量 模等于1个单位长度的向量称为单位向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 向量a与b相等，记作a＝b 续表 名称 定义 记法 共线向量 (平行向量) 若两个非零向量a，b的方向相同或相反，则称这两个向量共线或平行 a与b平行或共线，记作a∥b 相反向量 若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为相反向量；相反向量是共线向量 若其中一个向量为a，则它的相反向量记作－a 向量的夹角 已知两个非零向量a和b，在平面内任选一点O，作eq \o(OA,\s\up6(→))＝a, eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，则θ＝∠AOB(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，a与b垂直．规定零向量可与任一向量垂直，即对任意向量a，都有0⊥a 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)向量的两个要素是大小与方向．(　　) (2)长度相等的向量是相等向量．(　　) (3)方向相同的向量是共线向量．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√ 2．(多空题)(教材P77练习3改编)在等边三角形ABC中，eq \o(BA,\s\up6(→))与eq \o(BC,\s\up6(→))的夹角为________，eq \o(BA,\s\up6(→))与eq \o(AC,\s\up6(→))的夹角为________． eq \f(π,3) 　eq \f(2π,3)　[eq \o(BA,\s\up6(→))与eq \o(BC,\s\up6(→))的夹角就是△ABC的一个内角，因此eq \o(BA,\s\up6(→))与eq \o(BC,\s\up6(→))的夹角是eq \f(π,3).eq \o(BA,\s\up6(→))与eq \o(AC,\s\up6(→))首尾相接，由∠BAC＝eq \f(π,3)知它的补角为eq \f(2π,3)，因此eq \o(BA,\s\up6(→))与eq \o(AC,\s\up6(→))的夹角是eq \f(2π,3).] 3．(多空题)已知下列各量： ①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度． 其中是数量的有________，是向量的有______．(填序号) 答案　②④⑤⑨⑩　①③⑥⑦⑧ 探究一　向量的有关概念 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若a≠b，则a一定不与b共线； (2)若eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(DC,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点； (3)在平行四边形ABCD中，一定有eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(DC,\s\up6(→))； (4)若向量a与任一向量b平行，则a＝0； (5)若a＝b，b＝c，则a＝c. 解　(1)两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故(1)不正确． (2)当eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(DC,\s\up6(→))时，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故(2)不正确． (3)在平行四边形ABCD中，|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝|eq \o(DC