2.3.2 向量的数乘与向量共线的关系 (配套Word教参)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第二册(北师大版)

3.2　向量的数乘与向量共线的关系 课程内容标准 学科素养凝练 了解向量数乘与向量共线的关系，理解两个向量共线的含义. 通过研究向量的数乘与向量共线的关系，培养数学抽象及逻辑推理素养. 1．共线(平行)向量基本定理 给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使a＝λb. 2．直线的方向向量 用eq \o(AP,\s\up6(→))＝teq \o(AB,\s\up6(→))表示过点A，B的直线l，其中eq \o(AB,\s\up6(→))称为直线l的方向向量． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ，使b＝λa.(　　) ×　提示　当b＝0，a＝0时，实数λ不唯一． (2)若b＝λa，则a与b共线．(　　) √　提示　由共线向量基本定理可知其正确． (3)向量a，b共线，一定有b＝λa(λ∈R)．(　　) ×　提示　当a＝0，b≠0时，λ不存在． 2．(教材P92练习2改编)在四边形ABCD中，若eq \o(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2) eq \o(CD,\s\up6(→))，则此四边形是(　C　) A．平行四边形　　　 B．菱形 C．梯形 D．矩形 3．已知向量a，b，且eq \o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq \o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq \o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．B，C，D B．A，B，C C．A，B，D D．A，C，D C　[∵eq \o(BD,\s\up6(→))＝eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))＝2a＋4b＝2eq \o(AB,\s\up6(→))， ∴A，B，D三点共线．] 探究一　判定向量共线或三点共线 已知非零向量e1，e2不共线． (1)若a＝eq \f(1,2)e1－eq \f(1,3)e2，b＝3e1－2e2，判断向量a，b是否共线； (2)若eq \o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq \o(BC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq \o(CD,\s\up6(→))＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线． (1)解　∵b＝6a，∴a与b共线． (2)证明　∵eq \o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq \o(BD,\s\up6(→))＝eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5eq \o(AB,\s\up6(→))， ∴eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(BD,\s\up6(→))共线，且有公共点B． ∴A，B，D三点共线． [方法总结] 1．向量共线的判断(证明)方法是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断是否共线． 2．利用共线向量基本定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线．需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b＝λa(a≠0)，还要说明向量a，b有公共点． [训练1]　已知非零向量e1，e2不共线，若eq \o(AB,\s\up6(→))＝e1＋2e2，eq \o(BC,\s\up6(→))＝－5e1＋6e2，eq \o(CD,\s\up6(→))＝7e1－2e2，则共线的三个点是________． A，B，D　[∵eq \o(AB,\s\up6(→))＝e1＋2e2，eq \o(BD,\s\up6(→))＝eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2eq \o(AB,\s\up6(→))， ∴eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(BD,\s\up6(→))共线，且有公共点B．∴A，B，D三点共线．] 探究二　利用向量共线求参数值 [知能解读]　证明三点共线，往往要转化为证明过同一点的两条有向线段所在的向量共线．证明两向量共线，只需找出它们之间的线性关系．如果已知两个向量共线，要确定参数的值，需用共线向量基本定理建立等式，然后根据向量相等的条件得到关于参数的方程，解之即可． 已知非零向量e1，e2不共线，若ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定k的值． 解　∵ke1＋e2与e1＋ke2共线， ∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)． 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2. 又e1与e2不共线，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0.)) ∴k＝±1. [方法总结