6.5.2 平面与平面垂直 (配套Word教参)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第二册(北师大版)

LLL5.2　平面与平面垂直 课程内容标准 学科素养凝练 1．理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角． 2．掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角． 3．掌握两个平面互相垂直的概念，能运用面面垂直的性质定理和判定定理解决简单的问题． 通过学习面面垂直的性质定理及判定定理，提升直观想象及逻辑推理素养. 1．二面角 平 面 角 概念 一个平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面.从这一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角．这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面 文字 以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，则这两条射线所成的角叫做这个二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫做直二面角 图示 符号 OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角 范围 0°≤∠AOB≤180° 记法 棱为l、面分别为α，β的二面角记为α­l­β 2．平面与平面垂直 (1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作α⊥β． (2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如图所示． 3．平面与平面垂直的性质定理 文字 语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号 语言 α⊥β，α∩β＝MN，AB⊂β，AB⊥MN⇒AB⊥α 图形 语言 4．平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 图形语言 符号语言 l⊂α，l⊥β⇒α⊥β 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若平面α⊥平面β，任取直线l⊂α，则必有l⊥β.(×) (2)已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．(×) 2．(教材P233练习2改编)若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(　　) A．α∥γ　　　　　　　　 B．α⊥γ C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能 D　[两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A，B，C都有可能．] 3．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面(　　) A．有1个 B．有2个 C．有无数个 D．不存在 C　[由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个．] 探究一　求二面角的大小 [知能解读]　 1．要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致． 2．要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面内的角的联系与区别． (1)有下列结论： ①两个相交平面组成的图形叫作二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系． 其中正确的是(　　) A．①③　　　　　　　 B．②④ C．③④ D．①② B　[由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，所以①错误，易知②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③错误；由定义知④正确．] (2)如图，已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A­BC­O的大小． 解　如图，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为点D，连接AD，设CO＝a． ∵AO⊥α，BC⊂α，∴AO⊥BC． 又AO∩DO＝O，AO，DO⊂平面AOD， ∴BC⊥平面AOD．而AD⊂平面AOD， ∴BC⊥AD，∴∠ADO即为二面角A ­BC­O的平面角， 由AO⊥α，OB⊂α，OC⊂α， 得AO⊥OB，AO⊥OC， 又∠ABO＝30°，∠ACO＝45°， ∴AO＝a，则AC＝eq \r(2)a，AB＝2a， 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°， ∴BC＝eq \r(AC2＋AB2)＝eq \r(6)a， ∴AD＝eq \f(AB·AC,BC)＝eq \f(2a·\r(2)a,\r(6)a)＝eq \f(2\r(3),3)a． 在Rt△AOD中，sin∠ADO＝eq \f(AO,AD)＝eq \f(a,\f(2\r(3),3)a)＝eq \f(\r(3),2)， ∴∠ADO＝60°，即二面角A­BC­O的大小为60°． [方法总结] (1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线． (2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面