二次函数专训16 二次函数实际问题应用—拱桥问题（基础训练+拓展提升）-2020-2021学年九年级数学下册计算力提升训练（苏科版）

二次函数专训16 二次函数实际问题应用—拱桥问题（基础训练+拓展提升） 1．图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？ 【答案】 【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把y=-1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系.设二次函数的解析式为 (a≠0). ∵图象经过点（2，-2）， ∴-2=4a， 解得： . ∴ . 当y=-3时， . 答：当水面高度下降1米时，水面宽度为 米. 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，难度一般． 2．抛物线形桥拱的跨度 为 米，拱高为 米，求桥拱的函数关系式． 【答案】 （答案不唯一）． 【分析】以 所在直线为 轴， 中点为原点建立直角坐标系，画出图象，先求出点A的坐标，设所求解析式为 ，将 和 代入解析式中即可求出结论． 【详解】解：以 所在直线为 轴， 中点为原点建立直角坐标系， ∵AB=6 ∴AO=3 ∴点A的坐标为（-3,0） 可设所求解析式为 ， 由抛物线过 和 得： 解得： ∴抛物线解析式为 （答案不唯一）． 【点睛】此题考查的是二次函数的应用，建立适当的坐标系，并利用待定系数法求二次函数解析式是解题关键． 3．如图所示，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位 时，宽为 ，若水位上升 ，水面就会达到警戒线 这时水面宽为 ． (1)建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式； (2)若洪水到来时，水位以每小时 的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？ 【答案】（1）坐标系见详解， ；（2）5小时． 【分析】（1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，然后根据题意可得点B、D的横坐标，设抛物线解析式为 ，然后可进行求解； （2）由（1）可得CD距拱顶的距离，然后根据题意可直接进行列式求解． 【详解】解：（1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，如图所示： 设抛物线解析式为 ，点D的坐标为 ，则 ， 由抛物线经过点D和点B，可得： ， 解得： ， 抛物线的解析式为 ； （2）由（1）可得CD距拱顶的距离为1m，水位以每小时 的速度上升，从警戒线开始，到达拱顶的时间为 （小时）， 答：从警戒线开始，再持续5小时就能到达拱桥的拱顶． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解题的关键． 4．有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时 宽20 ，水位上升3 就达到警戒线 ，这时水面宽度为10 . （1）在如图的坐标系中，求抛物线的解析式. （2）若洪水到来时，再持续多少小时才能到拱桥顶？（水位以每小时0.2 的速度上升） 【答案】（1） ；（2）再持续5 到达拱桥顶. 【分析】（1）设抛物线解析式为y＝ax2，设 ，则 ，把 、 的坐标分别代入即可求出a,b的值，故可求解； （2）求出拱桥顶 到 的距离为1，从而得出答案． 【详解】（1）设所求抛物线的解析式为 . 设 ，则 ， 把 、 的坐标分别代入 ， 得 解得 ∴ . （2）∵ ， ∴ ∴拱桥顶 到 的距离为1， EMBED Equation.DSMT4 . 故再持续5 到达拱桥顶. 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，将实际问题抽象成二次函数的问题． 5．某公司生产 型活动板房成本是每个425元．图①表示 型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长 ，宽 ，抛物线的最高点 到 的距离为 ． （1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用 表示，求该抛物线的函数表达式； （2）现将 型活动板房改造为 型活动板房．如图②，在抛物线与 之间的区域内加装一扇长方形窗户 ，点 ， 在 上，点 ， 在抛物线上，窗户的成本为50元 ．已知 ，求每个 型活动板房的成本是多少？（每个 型活动板房的成本＝每个 型活动板房的成本+一扇窗户 的成本） （3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的 型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个 型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价 （元）定为多少时，每月销售 型活动板房所获利润 （元）最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）500（3）n=620时，w最大=19200元 【分析】（1）根据图形及直角坐标系可得到D,E的坐标，代入 即可求解； （2）根据N点与M点的横坐标相同，求出N点坐标，再求出矩形FGMN的面积，故可求解； （3）根据题意得到w关于n的二次函数，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）由