初高中教材衔接 第1课时 数与式 (配套Word教参)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

第1课时　数与式 一、绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a，a＞0，,0，a＝0，,－a，a＜0.)) 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：|a－b|表示在数轴上对应数a和数b的两点之间的距离． 简单的绝对值不等式：|x|＜a(a＞0)⇔－a＜x＜a； |x|＞a(a＞0)⇔x＜－a或x＞a． 将式子中的绝对值符号去掉：|x－1|． 解　当x－1＞0，即x＞1时，|x－1|＝x－1； 当x－1＝0，即x＝1时，|x－1|＝0； 当x－1＜0，即x＜1时，|x－1|＝－(x－1)＝－x＋1． 所以|x－1|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1，x＞1，,0，x＝1，,－x＋1，x＜1.)) [变式]　若将本例中的式子改为|x＋2|呢？ 解　|x＋2|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2，x＞－2，,0，x＝－2，,－x－2，x＜－2.)) [训练1]　将式子中的绝对值符号去掉：|x－1|＋|x－3|(1≤x≤3)． 解　当1≤x≤3时，|x－1|＋|x－3|＝(x－1)＋(3－x)＝2． 二、乘法公式 我们在初中已经学习过下列一些乘法公式： (1)平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2； (2)完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： (1)立方和公式(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3； (2)立方差公式(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3； (3)三数和平方公式 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)； (4)两数和立方公式(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3； (5)两数差立方公式(a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3． 对上面列出的五个公式，希望同学们自己动手去证明一下． 计算：(x＋1)(x－1)(x2－x＋1)(x2＋x＋1)． 解　方法一　原式＝(x2－1)[(x2＋1)2－x2] ＝(x2－1)(x4＋x2＋1)＝x6－1． 方法二　原式＝(x＋1)(x2－x＋1)(x－1)(x2＋x＋1) ＝(x3＋1)(x3－1)＝x6－1． [训练2]　将式子展开eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\r(2)x＋\f(1,3)))2． 解　原式＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x2＋－\r(2)x＋\f(1,3)))2 ＝(x2)2＋(－eq \r(2)x)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＋2x2(－eq \r(2)x)＋2x2×eq \f(1,3)＋2×(－eq \r(2)x)×eq \f(1,3)＝x4－2eq \r(2)x3＋eq \f(8,3)x2－eq \f(2\r(2),3)x＋eq \f(1,9)． 已知a＋b＋c＝4，ab＋bc＋ac＝4，求a2＋b2＋c2的值． 解　a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)＝8． [训练3]　已知x2－3x＋1＝0，求x3＋x－3的值． 解　∵x2－3x＋1＝0，∴x≠0，∴x＋eq \f(1,x)＝3， ∴x3＋x－3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－1＋\f(1,x2))) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x))) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))2－3)) ＝3(32－3)＝18． 三、分解因式 因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应掌握十字相乘法、求根法． 1．十字相乘法 分解因式： (1)x2－3x＋2；　 (2)x2－(a＋b)xy＋aby2． 解　(1)如图①，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)． 图①　　　　　　图②　 　　　　　图③ 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图①中的两个x用1来表示(如图②所示)． (2)由图③，得x2－(a＋b)xy＋aby2＝(x－ay)(x－by)． [训练4]　 分解因式：(1)x