1.2 集合间的基本关系 (配套Word教参)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

1．2　集合间的基本关系 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解集合之间的包含与相等关系． 2．能识别给定集合的子集、真子集． 3．在具体情境中了解空集的含义并会应用. 通过对集合间的基本关系的学习，发展数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 一、子集的定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集(subset)，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)． 二、集合相等 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B． 三、真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集(proper subset)，记作AB(或BA)． 四、空集及表示 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集(empty set)，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 五、(真)子集的性质 1．任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； 2．对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C． 3．对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)集合{0}是空集．(×) (2)A⊆B是指A是由B的部分元素组成的．(×) (3)空集没有子集．(×) (4)任何集合至少有两个子集．(×) (5)若∅A，则A≠∅.(√) 2．(教材P8练习题2改编)下列关系式正确的是(　A　) A．{0}⊆{0}　　　　　　　 B．{0}∈{0} C．0＝{0} D．0∉{0} 3．(教材P9习题1.2题2改编)设A＝{四边形}，B＝{梯形}，C＝{平行四边形}，D＝{菱形}，E＝{正方形}，则下列关系正确的是(　A　) A．E⊆D⊆C⊆A B．D⊆E⊆C⊆A C．D⊆B⊆A D．E⊆D⊆C⊆B⊆A 4．(多空题)(教材P9习题1.2题5改编)集合A＝{x,2}，集合B＝{3，y}，若A＝B，则x＝__________，y＝__________． 答案　3　2 探究一　集合间关系的判断 [知能解读] 1．集合间的关系有包含关系和相等关系两种，其中包含关系有：包含于(⊆)、包含(⊇)、真包含于()、真包含()等，使用这些符号时要注意方向，如A⊆B与B⊇A是相同的，但A⊆B与B⊆A是不同的． 2．不能把“A⊆B”“AB”简单地理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝∅时，A⊆B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A⊆B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A⊆B． 判断下列每组中两个集合的关系： (1)A＝{x|－3≤x＜5}，B＝{x|－1＜x＜2}； (2)A＝{y|y＝x2}，B＝{x|y＝x2}； (3)A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝k＋\f(1,2)))，k∈Z))，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2k＋\f(1,2)))，k∈Z))； (4)A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝2(n＋1)，n∈Z}． 解　(1)将两个集合在数轴上表示出来，如图所示，显然有BA． (2)∵A＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，B＝{x|y＝x2}＝R， ∴AB． (3)在集合A中，x＝k＋eq \f(1,2)＝eq \f(2k＋1,2)，k∈Z． ∵当k∈Z时，2k＋1是奇数，∴集合A中的元素是所有的奇数除以2所得的数． 在集合B中，x＝2k＋eq \f(1,2)＝eq \f(4k＋1,2)，k∈Z． ∵当k∈Z时，4k＋1只表示了部分奇数，∴BA． (4)∵n∈Z，∴n＋1∈Z，∴B表示偶数集． ∵A也表示偶数集，∴A＝B． [方法总结]　集合间关系的判断方法 (1)判断A⊆B的常用方法：定义法，即说明集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素． (2)判断AB的方法：可以先判断A⊆B，然后说明集合B中存在元素不属于集合A． (3)判断A＝B的方法：可以证明A⊆B，且B⊆A；也可以证明两个集合的元素完全相同． [训练1]　判断下列每组中两个集合的关系： (1)A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|0＜x＜1}； (2)集合A＝{2n＋1|n∈Z}，集合B＝{4k±1|k∈Z}． 解　 (1)将集合A与集合B在数轴上表示出来，如图所示，所以有BA． (2)当n＝2k时，2n＋1＝4k＋1；当n＝2k－